Question

9．如圖，己知點P從邊長為1的正方形ABCD的頂點B出發(fā)，沿著BC邊向點C方向運動，到點P與C點重合時停止，連接AP并以AP為直角邊在AP右側(cè)作等腰直角△APQ，其中∠APQ=90°，則在運動過程中，點Q所經(jīng)過的路程長為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$π
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$π

Answer 1

分析 如圖，延長AD到M，使得DM=AD，連接CM，則點Q運動軌跡是線段CM．只要證明△ABP≌△PNQ，CN=QN即可解決問題．

解答 解：如圖，延長AD到M，使得DM=AD，連接CM，則點Q運動軌跡是線段CM．

作QN⊥BC于N，
∵PA=PQ，∠APQ=90°，
∴∠APB+∠QPN=90°，∠QPN+∠PQN=90°，
∴∠APB=∠PQN，
在△ABP和△PNQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠PNQ=90°}\\{∠APB=∠PQN}\\{AP=PQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△PNQ，
∴AB=PN=BC，PB=NQ，
∴PB=CN=QN，
∴∠QCN=45°，
∴點Q在線段CM上，點Q的運動軌跡是線段CM，
CM=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$．
故選A．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、軌跡等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考�？碱}型．