Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，DE=3，連接BD，過點(diǎn)E作EM∥BD，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求證：EM是⊙O的切線；
（3）若弦DF與直徑AB相交于點(diǎn)P，當(dāng)∠APD=45°時(shí)，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）首先連接OE，由弦DE垂直平分半徑OA，根據(jù)垂徑定理可求得OC與OE的關(guān)系，求得CE的長(zhǎng)，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，求得∠OEC=30°，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，則可求得⊙O的半徑；
（2）由垂徑定理，可得

AE

=

AD

，根據(jù)在等圓或同圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于所對(duì)圓心角的一半，即可求得∠B的度數(shù)，即可求得∠EDB的度數(shù)，又由EM∥BD，可求得∠MED的度數(shù)，繼而求得∠MEO=90°，即可證得EM是⊙O的切線；
（3）由∠APD=45°，根據(jù)在等圓或同圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于所對(duì)圓心角的一半，即可求得∠EOF的度數(shù)，然后根據(jù)S_陰影=S_扇形EOF-S_△EOF，即可求得答案．

解答：（1）解：連接OE．
∵DE垂直平分半徑OA，
∴OC=

1

2

OA
∵OA=OE，
∴OC=

1

2

OE，CE=

1

2

DE=

3

2

，
∴∠OEC=30°，
∴OE=

EC

cos30°

=

3 2

3 2

=

3

；

（2）證明：由（1）知：∠AOE=60°，

AE

=

AD

，
∴∠B=

1

2

∠AOE=30°，
∴∠BDE=60°
∵BD∥ME，
∴∠MED=∠BDE=60°，
∴∠MEO=∠MED+∠OEC=60°+30°=90°，
∴OE⊥EM，
∴EM是⊙O的切線；

（3）解：連接OF．
∵∠DPA=45°，
∵∠DCB=90°，
∴∠CDP=45°，
∴∠EOF=2∠EDF=90°，
∴S_陰影=S_扇形EOF-S_△EOF=

90π×( 3 )2

360

-

1

2

×

3

×

3

=

3

4

π-

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理，圓周角的性質(zhì)，切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)等知識(shí)，此題綜合性很強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．