Question

如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分別是AC，BC的中點，點P從點A出發(fā)沿折線段AD-DE-EB以每秒3個單位長的速度向B勻速運動；點Q也從點A出發(fā)沿射線AB以每秒2個單位長的速度運動，當P與B重合時停止運動，點Q也隨之停止運動．設點P，Q運動時間是t秒（t＞0）．
（1）當點P到達終點B時，求t的值；
（2）設△BPQ的面積為S，求出Q在線段AB上運動時，S與t的函數(shù)關系式；
（3）是否存在t值，使PQ∥DB？若存在，求出t值，不存在說明理由．

Answer 1

解：（1）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，
由勾股定理得：BC===10，
又由D，E分別是AC，BC的中點，
∴AD=4，DE=3，BE=5，
∴當點P到達終點B時所用時間t=（4+3+5）÷3=4（秒），
答t的值為4秒．

（2）①如圖，當點P在AD上（不包含D點），由已知得：AQ=2t，AP=3t，
∴BQ=AB-AQ=6-2t，
已知∠A=90°，
∴△BPQ的面積S=BQ•AP=（6-2t）•3t=-3t²+9t，
所以Q在線段AB上運動時，S與t的函數(shù)關系式為S=-3t²+9t．
②如圖當點P在DE（包括點D、E）上，
過點P作PF⊥AB于F，
則PF=AD=4，
則△BPQ的面積S=BQ•PF=（6-2t）•4=12-4t，
所以此時Q在線段AB上運動時，S與t的函數(shù)關系式為S=12-4t．
③當點P在BE上（不包括E點），
由已知得：BP=3+4+5-3t=12-3t，
過點P作PF⊥AB于F，
∴PF∥AC，
∴△BPF∽△BCA，
∴=，
∴=，
∴PF=，
∴△BPQ的面積S=BQ•PF=（6-2t）•=-t+，
所以此時Q在線段AB上運動時，S與t的函數(shù)關系式為S=-t+．

（3）若PQ∥DB，則點P、Q必在DB同側(cè)．
①當點Q在AB上，點P在AD上時，
∵AP：AQ=3t：2t=3：2，而AD：AB=4：6=2：3，
∴AP：AQ≠AD：AB，
則PQ不平行DB．
②因點Q沿射線AB運動，
所以點Q在AB延長線上，點P在CB上時，
即當3＜t＜4 時，PB=12-3t，PC=3t-7，BQ=2t-6．
若PQ∥DB，設直線PQ交DC與N，
∵DC∥AB，
∴△PCN∽△PBQ，
∴CN：BQ=PC：PB，
則CN=；
又∵NQ∥DB，
∴CN：CD=CP：CB，
則CN=，
所以=，
解得t=（符合題意）．
綜上情景①、②所述，當t=時，PQ∥DB．
分析：（1）由已知和勾股定理先求出BC，再由D，E分別是AC，BC的中點，求出AD、DE、BE，從而求出t；（2）由已知用t表示出AQ、AP、BQ，再由∠A=90°，通過面積公式求出S與t的函數(shù)關系式；
（3）通過假設，通過兩種情況討論即可求解．
點評：此題考查的知識點是勾股定理、三角形中位線定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，關鍵是通過勾股定理三角形中位線定理求解，以及通過假設推出錯誤結論論證．