Question

4．如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為6，甲比乙的面積之和小6，則A到線段ED的距離為（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． 10
• D． 12

Answer 1

分析 過E作EF∥AD交CB的延長(zhǎng)線于F，過A作AG⊥BC于G，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到BE∥CD，∠CBE=∠C=90°，BE=CD，證得△BEF≌△CDN，由全等三角形的性質(zhì)得到BF=CN通過△AMN∽△EMF，由相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AG}{BE}=\frac{MN}{MF}$，設(shè)AG=h，MN=a，則MF=6-a，得到$\frac{h}{6}=\frac{a}{6-a}$ ①，根據(jù)已知條件得到 $\frac{1}{2}$（6-a）×6-6=$\frac{1}{2}$ah  ②，解方程組即可得到結(jié)論．

解答 解：過E作EF∥AD交CB的延長(zhǎng)線于F，過A作AG⊥BC于G，
∵四邊形EBCD是正方形，
∴BE∥CD，∠CBE=∠C=90°，BE=CD，
∴∠FEB=∠CDN，
在△BEF與△CDN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EBF=∠C=90°}\\{BE=CD}\\{∠BEF=∠CDN}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△CDN，
∴BF=CN，
∵EF∥AD，
∴△AMN∽△EMF，
∴$\frac{AG}{BE}=\frac{MN}{MF}$，
設(shè)AG=h，MN=a，則MF=6-a，
∴$\frac{h}{6}=\frac{a}{6-a}$ ①，
∵S_甲=$\frac{1}{2}$ah，S_乙+S_丙=S_△EFM=$\frac{1}{2}$（6-a）×6，
∵甲比乙和丙的面積之和小6，
∴$\frac{1}{2}$（6-a）×6-6=$\frac{1}{2}$ah  ②，
由①②解得：h=4，
∴A到線段ED的距離為4+6=10．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積的計(jì)算，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．