Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→A→B→C

的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．

（1）出發(fā)2秒后，求△ABP的周長(zhǎng)．

（2）當(dāng)t為幾秒時(shí)，BP平分∠ABC

（3）問(wèn)t為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）16+2;（2）3;（3）6s或13s或12s或 10.8s.

【解析】分析：（1）利用勾股定理得出AC=8cm，進(jìn)而表示出AP的長(zhǎng)，由勾股定理求出PB，進(jìn)而得出答案；（2）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，由HL證明Rt△BPD≌Rt△BPC，得出BD=BC=6cm，因此BD=10-6=4cm，設(shè)PC=x cm，則PA=（8-x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）利用分類討論的思想和等腰三角形的特點(diǎn)及三角形的面積求出答案．

本題解析：

(1)∵∠C=90，AB=10cm，BC=6cm，∴有勾股定理得AC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm

∴出發(fā)2秒后，則CP=2cm，那么AP=6cm.

∵∠C=90°，

∴由勾股定理得PB=2cm

∴△ABP的周長(zhǎng)為：AP+PB+AB=6+10+2=(16+2)cm；

(2)如圖2所示，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，

∵BP平分∠ABC,∴PD=PC.

在Rt△BPD與Rt△BPC中, ，

∴Rt△BPD≌Rt△BPC(HL)，

∴BD=BC=6 cm，

∴AD=106=4 cm.

設(shè)PC=x cm,則PA=(8x)cm

在Rt△APD中,PD+AD=PA，

即x+4=(8x)，

解得：x=3，

∴當(dāng)t=3秒時(shí)，AP平分∠CAB；

(3)若P在邊AC上時(shí)，BC=CP=6cm，

此時(shí)用的時(shí)間為6s，△BCP為等腰三角形；

若P在AB邊上時(shí)，有兩種情況：

①若使BP=CB=6cm，此時(shí)AP=4cm，P運(yùn)動(dòng)的路程為12cm，

所以用的時(shí)間為12s，故t=12s時(shí)△BCP為等腰三角形；

②若CP=BC=6cm，過(guò)C作斜邊AB的高，根據(jù)面積法求得高為4.8cm，

根據(jù)勾股定理求得BP=7.2cm，

所以P運(yùn)動(dòng)的路程為187.2=10.8cm，

∴t的時(shí)間為10.8s，△BCP為等腰三角形；

③若BP=CP時(shí)，則∠PCB=∠PBC，

∵∠ACP+∠BCP=90°,∠PBC+∠CAP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC

∴PA=PB=5cm

∴P的路程為13cm，所以時(shí)間為13s時(shí)，△BCP為等腰三角形。

∴t=6s或13s或12s或 10.8s 時(shí)△BCP為等腰三角形。