Question

如圖，點O為矩形ABCD的對稱中心，AB=10cm，BC=12cm，點E、F、G分別從A、B、C三點同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為1cm/s，點F的運動速度為3cm/s，點G的運動速度為1.5cm/s，當點F到達點C（即點F與點C重合）時，三個點隨之停止運動．在運動過程中，△EBF關(guān)于直線EF的對稱圖形是△EB′F．設(shè)點E、F、G運動的時間為t（單位：s）．
（1）當t=______s時，四邊形EBFB′為正方形；
（2）若以點E、B、F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似，求t的值；
（3）是否存在實數(shù)t，使得點B′與點O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用正方形的性質(zhì)，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；
（2）△EBF與△FCG相似，分兩種情況，需要分類討論，逐一分析計算；
（3）本問為存在型問題．假設(shè)存在，則可以分別求出在不同條件下的t值，它們互相矛盾，所以不存在．
解答：解：（1）若四邊形EBFB′為正方形，則BE=BF，
即：10-t=3t，
解得t=2.5；

（2）分兩種情況，討論如下：
①若△EBF∽△FCG，
則有，即，
解得：t=2.8；
②若△EBF∽△GCF，
則有，即，
解得：t=-14-2（不合題意，舍去）或t=-14+2．
∴當t=2.8s或t=（-14+2）s時，以點E、B、F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似．

（3）假設(shè)存在實數(shù)t，使得點B′與點O重合．
如圖，過點O作OM⊥BC于點M，則在Rt△OFM中，OF=BF=3t，F(xiàn)M=BC-BF=6-3t，OM=5，
由勾股定理得：OM²+FM²=OF²，
即：5²+（6-3t）²=（3t）²
解得：t=；

過點O作ON⊥AB于點N，則在Rt△OEN中，OE=BE=10-t，EN=BE-BN=10-t-5=5-t，ON=6，
由勾股定理得：ON²+EN²=OE²，
即：6²+（5-t）²=（10-t）²
解得：t=3.9．
∵≠3.9，
∴不存在實數(shù)t，使得點B′與點O重合．
點評：本題為運動型綜合題，考查了矩形性質(zhì)、軸對稱、相似三角形的判定性質(zhì)、勾股定理、解方程等知識點．題目并不復(fù)雜，但需要仔細分析題意，認真作答．第（2）問中，需要分類討論，避免漏解；第（3）問是存在型問題，可以先假設(shè)存在，然后通過推導(dǎo)出互相矛盾的結(jié)論，從而判定不存在．