Question

（2011•晉江市質(zhì)檢）如圖，菱形ABCD的邊長為20cm，∠ABC=120°、動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，其中點(diǎn)P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路線向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q以2

3

cm/s的速度，沿A→C的路線向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)P、Q到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）直接填空：AP=

4t

cm，AQ=

2

3

t

cm（用含t的代數(shù)式表示，其中0＜t＜5）；
（2）若點(diǎn)Q關(guān)于菱形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為M，過點(diǎn)P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD（或CD）于點(diǎn)N．
①當(dāng)t為何值時(shí)，PM+MN的值最��？
②當(dāng)t為何值時(shí)，△PQM的面積S有最大值，此時(shí)最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路線向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q以2

3

cm/s的速度，沿A→C的路線向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，于是在時(shí)間t內(nèi)即可求出兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位移，即可求出AP和AQ的長度．
（2）①當(dāng)點(diǎn)P、M、N在同一直線上時(shí)，PM+MN的值最小，根據(jù)AQ+QM=AM即可求出t的值，如圖1，若0＜t≤5時(shí)，則AP=4t，AQ=2

3

t，根據(jù)三角形相似證明∠AQP=90°，即PQ⊥AC，于是求出△PQM的面積S的最大值，同理求出當(dāng)5＜t≤10時(shí)，△PQM的面積S的最大值．

解答：解：（1）4t，2

3

t…（2分）

（2）①當(dāng)點(diǎn)P、M、N在同一直線上時(shí)，PM+MN的值最�。�…（3分）
如圖，在Rt△APM中，易知AM=

8 3

3

t，
又∵AQ=2

3

t，QM=20

3

-4

3

t．
由AQ+QM=AM得：2

3

t+20

3

-4

3

t=

8 3 t

3

，
解得t=

30

7

．
∴當(dāng)t=

30

7

時(shí)，PM+MN的值最�。�…（7分）
②如圖1，若0＜t≤5時(shí)，則AP=4t，AQ=2

3

t．
則

AP

AQ

=

4t

2 3 t

=

2 3

3

，
又∵AO=10

3

，AB=20，
∴

AB

AO

=

20

10 3

=

2 3

3

．
∴

AP

AQ

=

AB

AO

．
又∵∠CAB=30°，
∴△APQ∽△ABO．
∴∠AQP=90°，即PQ⊥AC．
S=

1

2

MQ•PQ=

1

2

(20

3

-4

3

t)×2t=4

3

(5t-t2)=-4

3

(t-

5

2

)2+25

3

，
當(dāng)t=

5

2

時(shí)，S有最大值25

3

．…（10分）
②若5＜t≤10時(shí)，則CP=40-4t，PQ=20-2t，CQ=20

3

-2

3

t．
則

CP

CQ

=

40-4t

20 3 -2 3 t

=

4(10-t)

2 3 (10-t)

=

2

3

，
又∵CO=10

3

，CB=20，
∴

CB

CO

=

20

10 3

=

2

3

．
又∵∠ACB=30°，
∴△QCP∽△OCB．
∴∠CQP=90°，即PQ⊥ACS=

1

2

QM•PQ=

1

2

(4

3

t-20

3

)(20-2t)=4

3

(15t-t2-50)=-4

3

(t-

15

2

)2+25

3

，
當(dāng)t=

15

2

時(shí)，S有最大值25

3

．…（13分）
綜上，當(dāng)t=

5

2

或

15

2

時(shí)，S的最大值都是25

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、三角函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)，此題是一道綜合性比較強(qiáng)的習(xí)題，難度有點(diǎn)大．