Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線(xiàn)，以CD為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)M、N，過(guò)點(diǎn)N作NE⊥AB，垂足為E．

（1）若⊙O的半徑為，AC＝6，求BN的長(zhǎng)；

（2）求證：NE與⊙O相切．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由直角三角形斜邊上的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等，得BD＝CD，又由直徑所對(duì)的圓周角是直角得DN⊥BC，由三線(xiàn)合一知BN＝NC，即可求得答案；

（2）證明切線(xiàn)，一般先把圓心和切點(diǎn)連接，然后證明垂直，由(1)知，通過(guò)角的轉(zhuǎn)化，即可證明ON⊥NE，從而證得結(jié)論.

（1）連接DN，ON

∵⊙O的半徑為，

∴CD＝5

∵∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線(xiàn)，

∴BD＝CD＝AD＝5，

∴AB＝10，

∴

∵CD為直徑

∴∠CND＝90°，即DN⊥BC，且BD＝CD

∴BN＝NC＝4

（2）∵∠ACB＝90°，D為斜邊的中點(diǎn)，

∴，

∴∠BCD＝∠B，

∵OC＝ON，

∴∠BCD＝∠ONC，

∴∠ONC＝∠B，

∴ON∥AB，

∵NE⊥AB，

∴ON⊥NE，

∴NE為⊙O的切線(xiàn)．