Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A(﹣1，0)、B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式；

（2）若直線(xiàn)l：線(xiàn)y＝﹣x+m與該拋物線(xiàn)交于D、E兩點(diǎn)，如圖．

①連接CD、CE、BE，當(dāng)S△BCE＝3S△CDE時(shí)，求m的值；

②是否存在m的值，使得原點(diǎn)O關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P剛好落在該拋物線(xiàn)上？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出m的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+；（2）①，②存在，

【解析】

（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)代入y＝﹣x2+bx+c轉(zhuǎn)化為解方程組即可解決問(wèn)題．

（2）①首先證明l∥BC，由S△BCE＝3S△CDE，推出BC＝3DE，推出直線(xiàn)l應(yīng)該在BC的上方，在BC上取一點(diǎn)F，使得BC＝3BF，推出四邊形BEDF是平行四邊形，由C（0，），B（3，0），BC＝3BF，推出F（2，），設(shè)D（n，n+m），則E[n+1，（n+1）+m]，將它們代入拋物線(xiàn)的解析式，解方程組即可解決問(wèn)題．

②如圖2中，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BC交拋物線(xiàn)于M或M′．由題意直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)OM或OM′的中點(diǎn)，構(gòu)建方程組求出點(diǎn)M，M′的坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．

解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)代入y＝﹣x2+bx+c可得：

，

解得：，

∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2+x+．

（2）①如圖，

對(duì)于y＝﹣x2+x+，令x＝0，可得y＝，

∴C（0，），

∵B（3，0），

∴OC＝，OB＝3，

∴tan∠CBO＝，

∴∠CBO＝30°，

∵直線(xiàn)l：y＝﹣x+m與x軸交于N（m，0）與y軸交于M（0，m），

∴tan∠MNO＝＝，

∴∠NMO＝30°＝∠CBO，

∴l∥BC，

∵S△BCE＝3S△CDE，

∴BC＝3DE，

∴直線(xiàn)l應(yīng)該在BC的上方，

在BC上取一點(diǎn)F，使得BC＝3BF，

∴BF＝DE，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，

∵C（0，），B（3，0），BC＝3BF，

∴F（2，），

設(shè)D（n，n+m），則E[n+1，﹣（n+1）+m]，將它們代入拋物線(xiàn)的解析式得到：

，

解得：，

∴m的值為．

②如圖2中，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BC交拋物線(xiàn)于M或M′．

則直線(xiàn)OM的解析式為y＝x，

由，

解得：或，

∴M（，），M′（，），

由題意直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)OM或OM′的中點(diǎn)，

∴或，

解得：m＝．