Question

如圖（1）、（2），A是半徑為12cm的⊙O上的定點(diǎn)，動點(diǎn)P從A出發(fā)，以2π（cm/s）的速度沿圓周逆時針運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P回到A時立即停止運(yùn)動．
（1）如圖（1），點(diǎn)B是OA延長線上一點(diǎn)，AB=OA，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時間為2s時，試證明直線BP是⊙O的切線；
（2）如圖（2），當(dāng)∠POA=90°時，求點(diǎn)P的運(yùn)動時間．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線BP與⊙O的位置關(guān)系是相切，根據(jù)已知可證得OP⊥BP，即直線BP與⊙O相切．
（2）當(dāng)∠POA=90°時，點(diǎn)P運(yùn)動的路程為⊙O周長的 14或 34，所以分兩種情況進(jìn)行分析；
解答：解：（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為2s時，直線BP與⊙O相切．理由如下：
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為2s時，點(diǎn)P運(yùn)動的路程為4πcm，連接OP，PA．
∵⊙O的周長為24πcm，
∴弧AP的長為⊙O周長的，
∴∠POA=60°；
∵OP=OA，
∴△OAP是等邊三角形，
∴OP=OA=AP，∠OAP=60°；
∵AB=OA，
∴AP=AB，
∵∠OAP=∠APB+∠B，
∴∠APB=∠B=30°，
∴∠OPB=∠OPA+∠APB=90°，
∴OP⊥BP，
∴直線BP與⊙O相切．

（2）當(dāng)∠POA=90°時，點(diǎn)P運(yùn)動的路程為⊙O周長的或，
設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為ts；
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為⊙O周長的時，2π•t=•2π•12，
解得t=3；
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為⊙O周長的時，2π•t=•2π•12，
解得t=9；
∴當(dāng)∠POA=90°時，點(diǎn)P運(yùn)動的時間為3s或9s．
點(diǎn)評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．