Question

如圖，在平面直角坐標系中，以點C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A．B兩點，開口向下的拋物線經(jīng)過點A，B，且其頂點P在⊙C上．
（1）求∠ACB的大�。�
（2）寫出A，B兩點的坐標；
（3）由圓與拋物線的對稱性可知拋物線的頂點P的坐標為（1，3），求出拋物線的解析式；
（4）在該拋物線上是否存在一點D點，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）作CH⊥x軸于H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)（CH=AC），求出∠ACH的度數(shù)即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出AH和BH，根據(jù)C的坐標求出A、B的坐標即可；
（3）根據(jù)拋物線的頂點坐標設(shè)拋物線的頂點式，把B的坐標代入求出a即可；
（4）假設(shè)存在，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定得出平行四邊形，求出D的坐標，把D的坐標代入拋物線的解析式，左邊=右邊，即得出D在拋物線上，即可得出答案．
解答：解：（1）作CH⊥x軸于H，
∵CH=1，半徑CB=2，
∴∠BCH=60°，
即∠ACB=120°．

（2）∵CH=1，半徑CB=2，
∴HB=，
∴A的坐標是（1-，0），B的坐標是（1+，0）．

（3）設(shè)拋物線的解析式是y=a（x-1）²+3，
把點B（1+，0）代入上式，解得：a=-1，
∴y=-1（x-1）²+3=-x²+2x+2，
即拋物線的解析式是y=-x²+2x+2．

（4）假設(shè)存在點D使線段OP與CD互相平分，
則四邊形OCPD是平行四邊形，
∴PC∥OD，PC=OD，
∵PC∥y軸，
∴點D在y軸上，
∵PC=2，
∴OD=2，
即D（0，2），
又D（0，2）滿足y=-x²+2x+2，
∴點D在拋物線上，
∴存在D點，使線段OP與CD互相平分，且點D的坐標是（0，2）．
點評：本題綜合考查對平行四邊形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，勾股定理，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，垂徑定理等知識點，本題綜合性較強，通過做題培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力，題型較好，難度適中．