Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=ax2+bx+2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)Q（m，m﹣1）是拋物線上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，P是線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)（不與A、B重合），經(jīng)過點(diǎn)P分別作PD∥BQ交AQ于點(diǎn)D，PE∥AQ交BQ于點(diǎn)E． ①判斷四邊形PDQE的形狀；并說明理由；
②連接DE，求出線段DE的長度范圍；
③如圖2，在拋物線上是否存在一點(diǎn)F，使得以P、F、A、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)F和點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（3）當(dāng)r=2 時(shí)，在P1（0，2），P2（﹣2，4），P3（4 ，2），P4（0，2﹣2 ）中，求可以成為正方形ABCD的“等距圓”的圓心的坐標(biāo)？
（4）若點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣3，6），則當(dāng)⊙P的半徑r為多長時(shí)，⊙P是正方形ABCD的“等距圓”．試判斷此時(shí)⊙P與直線AC的位置關(guān)系？并說明理由．
（5）如圖2，在正方形ABCD所在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形EFGH的頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（6，2），頂點(diǎn)E、H在y軸上，且點(diǎn)H在點(diǎn)E的上方．若⊙P同時(shí)為上述兩個(gè)正方形的“等距圓”，且與BC所在直線相切，求⊙P的圓心P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：把點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0）代入拋物線y=ax2+bx+2中得：

，

解得： ，

∴拋物線的解析式為：y=﹣ x2+ x+2

（2）解：①四邊形PDQE是矩形，理由是：

如圖1，

過Q作QH⊥AB于H，

把Q（m，m﹣1）代入y=﹣ x+2中得：

m﹣1=﹣ + m=2，

m2﹣m﹣6=0，

（m﹣3）（m+2）=0，

m1=3，m2=﹣2，

∵Q是第一象限上的點(diǎn)，

∴m＞0，

∴m=﹣2不符合題意，舍去，

∴Q（3，2），

∵A（﹣1，0），B（4，0），

∴AH=4，QH=2，BH=1，

∴AQ= =2 ，BQ= = ，

AB=5，

∴AB2=AQ2+BQ2，

∴∠AQB=90°，

∵PD∥BQ，PE∥AQ，

∴四邊形PDQE是矩形；

②如圖2，

連接PQ，

∵四邊形PDQE是矩形，

∴PQ=DE，

當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ最小，即DE最小，

此時(shí)PQ=2，即DE=2，

當(dāng)點(diǎn)P在A時(shí)PQ最大，即PQ=AQ=2 ，

∴線段DE的長度范圍是：2≤DE＜2 ；

③當(dāng)以AP為邊時(shí)，如圖3，

則它的對邊為CF，

∵四邊形APFC是平行四邊形，

∴AP∥CF，

∴點(diǎn)C和點(diǎn)F的縱坐標(biāo)相等為2，

∴F（3，2），

∴AP=CF=3，

∴P（2，0），

當(dāng)以AP為對角線時(shí)，如圖4，

可得F的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即是﹣2，

當(dāng)y=﹣2時(shí)，代入拋物線的解析式為：﹣2=﹣ + +2，

x= ，

∵點(diǎn)F在第三象限，

∴F（ ，﹣2），

過F作FM⊥AB于M，則△PCO≌△AFM，

∴OP=AM，

∴OP= ﹣1= ，

則此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，0），

綜上所述，F(xiàn)（3，2），P（2，0）或點(diǎn)F（ ，﹣2），點(diǎn)P（ ，0）

（3）解：連接AC、BD相交于點(diǎn)M，如右圖1所示，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴點(diǎn)M是正方形ABCD的中心，到四邊的距離相等，

∴⊙P一定過點(diǎn)M，

∵正方形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），頂點(diǎn)C、D在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)．

∴點(diǎn)M（0，2），

設(shè)⊙P的圓心坐標(biāo)是（x，y），

∴（x﹣0）2+（y﹣2）2=（2 ）2，

將P1（0，2），P2（﹣2，4），P3（4 ，2），P4（0，2﹣2 ）分別代入上面的方程，只有P2（﹣2，4）和P4（0，2﹣2 ）成立，

故答案為：P2（﹣2，4）或P4（0，2﹣2 ）

（4）解：由題意可得，

點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P（﹣3，6），

∴r= =5，

即當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，6），則當(dāng)⊙P的半徑r是5時(shí)，⊙P是正方形ABCD的“等距圓”；

故答案為5．

此時(shí)⊙P與直線AC的位置關(guān)系是相交，

理由：∵正方形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），頂點(diǎn)C、D在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)，

∴點(diǎn)C（﹣2，0），

設(shè)過點(diǎn)A（2，4），點(diǎn)C（﹣2，0）的直線的解析式為y=kx+b，

則 ，

解得， ，

即直線AC的解析式為：y=x+2，

∴點(diǎn)P（﹣3，6）到直線AC的距離為： = ，

∵ ＜5，

∴此時(shí)⊙P與直線AC的位置關(guān)系是相交

（5）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），連接HF、EG交于點(diǎn)N，則點(diǎn)N為正方形EFGH的中心，如圖2所示，

∵點(diǎn)E（0，2），N（3，5），點(diǎn)C（﹣2，0），點(diǎn)B（﹣2，4），⊙P同時(shí)為上述兩個(gè)正方形的“等距圓”，且與BC所在直線相切，

∴ ，

解得 或 ，

即⊙P的圓心P的坐標(biāo)是（5+2 ，﹣2 ）或（5﹣2 ，2 ）．

【解析】（1）根據(jù)“等距圓”的定義，可知只要圓經(jīng)過正方形的中心，即是正方形的“等距圓”，也就是說圓心與正方形中心的距離等于圓的半徑即可，從而可以判斷哪個(gè)點(diǎn)可以成為正方形ABCD的“等距圓”的圓心，本題得以解決；（2）根據(jù)題意可知，只要求出點(diǎn)P與正方形ABCD的中心的距離即可求得半徑r的長度，連接PE，可以得到直線PE的解析式，看點(diǎn)B是否在此直線上，由BE與直線AC的關(guān)心可以判斷PE與直線AC的關(guān)系，本題得以解決；（3）根據(jù)題意，可以得到點(diǎn)P滿足的條件，列出形應(yīng)的二元一次方程組，從而可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．