Question

如圖，矩形ABCD中，∠ADB=30°，AB=2

3

．動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿AD方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位，終點(diǎn)是點(diǎn)D；動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CB方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，終點(diǎn)是點(diǎn)B． 若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，出發(fā)時(shí)間為t秒，點(diǎn)P、點(diǎn)Q中有一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一點(diǎn)也隨之而停止運(yùn)動(dòng)．分別以P、Q為圓心，PA、QC為半徑作⊙P和⊙Q．
（1）填空：AD的長(zhǎng)為

 

；
（2）當(dāng)⊙P與直線(xiàn)BD相切時(shí)，
①用直尺和圓規(guī)在圖①中作出⊙P（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
②求出此時(shí)t的值．
（3）求t為何值時(shí)，⊙P與⊙Q相切？

Answer 1

分析：（1）在直角三角形ADB中，利用30°的正切值即可求得AD的長(zhǎng)；
（2）由作圖可知∠PBD=∠ADB=30°，表示出AP=3t，則PB=PD=6-3t然后在Rt△PAB中利用AB²+AP²=PB²得(2

3

)2+(3t)2=(6-3t)2，求得t值即可；
（3）當(dāng)⊙P與⊙Q外切時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC足為M，PQ=3t+t=4t，MQ=6-4t，利用勾股定理求得t值，當(dāng)⊙P與⊙Q內(nèi)切時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC垂足為N，PQ=3t-t=2t，
NQ=CQ-CN=t-（6-3t），利用勾股定理求得t值即可．

解答：解：（1）∵∠ADB=30°，AB=2

3

．
∴AD=AB÷tan30°=2

3

÷

3

3

=6；

（2）①作圖正確
②由①作圖可知∠PBD=∠ADB=30°，AP=3t，則PB=PD=6-3t
在Rt△PAB中AB²+AP²=PB²
根據(jù)題意得(2

3

)2+(3t)2=(6-3t)2
解得t=

2

3

；


（3）如圖②⊙P與⊙Q外切時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC垂足為M，PQ=3t+t=4t，MQ=6-4t
則得(4t)2=(2

3

)2+(6-4t)2
解得t=1；
如圖③⊙P與⊙Q內(nèi)切時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC垂足為N，PQ=3t-t=2t，
NQ=CQ-CN=t-（6-3t）=4t-6
則得(2t)2=(2

3

)2+(4t-6)2
解得t=2．（11分）
綜合所得，當(dāng)t=1或2時(shí)⊙P與⊙Q相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相切兩圓的性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)，是一道綜合性很強(qiáng)的題目．