Question

將一把三角尺放在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，另一邊與射線DC相交于點(diǎn)Q．設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為x．
（1）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，請(qǐng)你測(cè)量線段PQ與線段PB的長(zhǎng)度（至少兩次），將你測(cè)量的實(shí)際結(jié)果填入下表，由此猜想線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關(guān)系并證明你得到的結(jié)論；

	線段PQ的長(zhǎng)度	線段PB的長(zhǎng)度
第一次
第二次

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，設(shè)線段CQ的長(zhǎng)度為y，求y與x之閭的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)線段CQ的長(zhǎng)度為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍；
（4）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑動(dòng)時(shí)，△PCQ的面積s能否等于

3 2

8

和

1

16

？如果可能，求出相應(yīng)的x值；如果不可能，試說(shuō)明理由．（圖①，②，③的形狀大小相同，圖①供操作、實(shí)驗(yàn)用，圖②，③備用）．

Answer 1

分析：（1）測(cè)量略．PB=PQ
可通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)證PB=PQ，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，PE⊥CD于點(diǎn)E，由于△PEC是等腰直角三角形，因此PE=EC，可得出四邊形PECF是正方形，由此可得出PE=PF，根據(jù)同角的余角相等可得出∠FPB=∠QPE，這兩個(gè)三角形中又有一組直角，因此構(gòu)成了全等三角形判定條件中ASA的條件．根據(jù)全等三角形即可得出PB=PQ．
（2）可先用x表示出PC，然后在直角三角形PFC中求出FC的長(zhǎng)，即可求出BF的長(zhǎng)，也就求出了CE，QE的長(zhǎng)，然后根據(jù)CQ=CE-QE即可得出y，x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)Q在CD延長(zhǎng)線上時(shí)，CQ=EQ-EC，解法同（2）．
（4）由于△PCQ面積最大時(shí)，P與A重合，Q與D重合，此時(shí)面積為

1

2

＜

3 2

8

，因此無(wú)論什么時(shí)候面積都不可能是

3 2

8

．
當(dāng)面積為

1

16

時(shí)，可根據(jù)（2）（3）兩種情況進(jìn)行分類討論，通過(guò)得出不同的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出符合條件的x的值．

解答：解：（1）（說(shuō)明：表略，兩線段長(zhǎng)度基本相等即可）經(jīng)測(cè)量，得PB=PQ
證明：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，PE⊥CD于點(diǎn)E，
∵∠PCE=45°，∠PEQ=90°，
∴PE=EC．
∴四邊形PFCE是正方形．
∴PE=PF．
∵∠BPF=∠QPE=90°-∠FPQ，∠BFP=∠PEQ=90°，
∴△BPF≌△QPE．
∴BP=PQ；

（2）∵AP=x，CQ=y，
∵AB=BC=1，
∴AC=

2

，
∵PFCE是正方形，
∴PC=

2

-x，
∴CE=1-

2

2

x，
∴BF=1-FC=1-（1-

2

2

x），
=

2

2

x，
∴EQ=

2

2

x，
∴y=CQ=（1-

2

2

x）-

2

2

x=1-

2

x，
∴y=1-

2

x（0≤x≤

2

2

）；

（3）由（2）易證：當(dāng)點(diǎn)Q在邊DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，
∵PC=

2

-x，利用勾股定理得出：
∴EC=1-

2

2

x，
EQ=BF=MP=

2

2

x，
CQ=EQ-EC=

2

x-1
Y=

2

x-1（

2

2

≤x≤

2

）；

（4）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑動(dòng)時(shí)，△PCQ的最大面積為

1

2

∴△PCQ的面積不可能是

3 2

8

當(dāng)0≤x≤

2

2

時(shí)，
S=

1

2

-

3 2

4

x+

1

2

x2=

1

16

解得x₁=

3 2 +2

4

（舍去），x₂=

3 2 -2

4

∴此時(shí)x=

3 2 -2

4

10分
當(dāng)

2

2

≤x≤

2

時(shí)
S_△PCQ=

1

2

CQ•PE=-

1

2

+

3 2

4

-

1

2

x2=

1

16

解得x₃=x₄=

3 2

4

．
綜上所述，當(dāng)P在線段AC上滑動(dòng)時(shí)，△PCQ的面積不可能為

3 2

8

，可能為

1

16

．
此時(shí)x的值為

3 2 -2

4

和

3 2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合運(yùn)動(dòng)類問(wèn)題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．