Question

7．如圖①，已知拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過A（3，0）、B（4，4）兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）D是直線OB下方拋物線上的一動點，連結OD、BD，在點D運動過程中，求當△OBD面積最大時，點D的坐標和最大面積；
（3）如圖②，若點N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，P為平面上一點，求出所有滿足△POD∽△NOB的點P的坐標（點P、O、D分別與點N、O、B對應）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得DE的長，根據(jù)圖形分割法，可得答案；
（3）根據(jù)解方程組，可得N點坐標，根據(jù)關于x軸對稱的點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)，可得N₁，B₁，根據(jù)相似三角形的性質，可得P₁點坐標，再根據(jù)關于y=-x的兩點：一點的橫坐標與另一點的縱坐標互為相反數(shù)，一點的縱坐標與另一點的橫坐標互為相反數(shù)，可得答案．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過點A（3，0）、B（4，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}9a+3b=0\\ 16a+4b=4\end{array}$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-3\end{array}$．
∴拋物線的解析式是y=x²-3x．
（2）設直線OB的解析式為y=k₁x，由點B（4，4），得
4=4k₁，解得k₁=1．
∴直線OB的解析式為y=x．
∵點D在拋物線y=x²-3x上，
∴可設D（x，x²-3x）．
如圖1：

過D作鉛垂線交OB于E，E（x，x），
∴ED=4x-x²
S=S_△ODE+S_△BDE=$\frac{1}{2}$DE•x_B=$\frac{1}{2}$×4（4x-x²）=-2（x-2）²+8，
∴當x=2時，S_最大=8；
當x=2時，x²-3x=-2，
∴D點坐標為（2，-2）；
（3）∵直線OB的解析式為y=x，且A（3，0），
∴點A關于直線OB的對稱點A'的坐標是（0，3）．
設直線A'B的解析式為y=k₂x+3，過點B（4，4），
∴4k₂+3=4，解得：k₂=$\frac{1}{4}$．
∴直線A'B的解析式是y=$\frac{1}{4}$x+3．
∵∠NBO=∠ABO，
∴點N在直線A'B上，
∴設點N（n，$\frac{1}{4}$n+3），又點N在拋物線y=x²-3x上，
∴$\frac{1}{4}$n+3=n²-3n，
解得：n₁=-$\frac{3}{4}$，n₂=4（不合題意，會去），
∴點N的坐標為（-$\frac{3}{4}$，$\frac{45}{16}$）．
如圖2，將△NOB沿x軸翻折，得到△N₁OB₁，

則N₁（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{45}{16}$），B₁（4，-4），
∴O、D、B₁都在直線y=-x上，D（2，-2），B₁（4，-4），
∵△P₁OD∽△NOB，
∴△P₁OD∽△N₁OB₁，
∴$\frac{OP1}{ON1}$=$\frac{OD}{OB1}$=$\frac{1}{2}$，
∴P₂是ON₁的中點，
∴點P₂的坐標為（-$\frac{3}{8}$，-$\frac{45}{32}$）．
將△OP₂D沿直線y=-x翻折，可得另一個滿足條件的點P₃，
設P₂（a，b），由P₃與P₂關于y=-x對稱，得
b+（-$\frac{45}{32}$）=-[a+（-$\frac{3}{8}$）]=$\frac{3}{8}$-a，
即b=$\frac{3}{8}$，a=$\frac{45}{32}$，
P₃的坐標為（$\frac{45}{32}$，$\frac{3}{8}$）．
綜上所述，點P的坐標是（-$\frac{3}{8}$，-$\frac{45}{32}$）或（$\frac{45}{32}$，$\frac{3}{8}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標得出DE的長是解題關鍵，又利用了面積的和差；利用解方程組求交點坐標，利用相似三角形的性質得出P點坐標，又利用關于關于y=-x的兩點：一點的橫坐標與另一點的縱坐標互為相反數(shù)，一點的縱坐標與另一點的橫坐標互為相反數(shù)．