Question

如圖，折疊的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，AE為折痕．
（1）求證：△AFB∽△FEC；
（2）若折痕AE=5

5

，且tan∠EFC=

3

4

，求矩形ABCD的周長．

Answer 1

分析：（1）由四邊形BCD是矩形，可得∠AFE=∠D=90°，又由同角的余角相等，可得∠BAF=∠EFC，即可證得：△AFB∽△FEC；
（2）由Rt△FEC中，tan∠EFC=

3

4

，可求得

CE

CF

=

3

4

，則可設CE=3k，則CF=4k，由勾股定理得EF=DE=5k．繼而求得BF與BC，則可求得k的值，由矩形ABCD的周長=2（AB+BC）求得結果．

解答：（1）證明：∵∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFB+∠EFC=90°，
又∵∠AFB+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
又∠B=∠C=90°，
∴△AFB∽△FEC；

（2）Rt△FEC中，tan∠EFC=

3

4

，
∴

CE

CF

=

3

4

，
設CE=3k，則CF=4k，由勾股定理得EF=DE=5k．
∴DC=8k，
又∵ABCD是矩形，
∴AB=8k，
Rt△AFB中，∠BAF=∠EFC，
∵tan∠BAF=

3

4

=

BF

AB

，
∴BF=6k，BC=10k
在Rt△AFE中由勾股定理得AE=5

5

k，又AE=5

5

，
∴k=1，
∴矩形ABCD的周長=2（AB+BC）=2（8k+10k）=36．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質、折疊的性質以及勾股定理等知識．此題綜合性很強，解題的關鍵是方程思想與數(shù)形結合思想的應用．