Question

如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，將△BCE沿BE翻折后點(diǎn)C恰好落在AD邊上的點(diǎn)F處，將線(xiàn)段EF繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在BE上的點(diǎn)G處，連接CG．
（1）證明：四邊形CEFG是菱形；
（2）若AB=8，BC=10，求四邊形CEFG的面積；
（3）試探究當(dāng)線(xiàn)段AB與BC滿(mǎn)足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，BG=CG，請(qǐng)寫(xiě)出你的探究過(guò)程．

Answer 1

分析：（1）由折疊得到EF=CE，∠FEG=∠CEG，再加上公共邊GE，利用SAS可得出三角形EFG與三角形CEG全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出GF=CG，再由FG是線(xiàn)段EF旋轉(zhuǎn)得到的，故FG=EF，等量代換可得出四邊形EFGC四條邊相等，進(jìn)而確定出此四邊形為菱形；
（2）連接FC，與GE交于點(diǎn)O，由折疊得到BF=BC=10，在直角三角形ABF中，由AB及BF的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AF=6，再由矩形的對(duì)邊相等得到AD=10，用AD-AF求出FD的長(zhǎng)，設(shè)DE=x，由EF=CE，用CD-DE表示出CE，即為EF的長(zhǎng)，在直角三角形EDF中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為ED的長(zhǎng)，在直角三角形FDC中，由DC及DF的長(zhǎng)，利用勾股定理求出CF的長(zhǎng)，根據(jù)四邊形EFGC為菱形，對(duì)角線(xiàn)互相平分，得到OF為CF的一半，求出OF的長(zhǎng)，再由菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，得到三角形EOF為直角三角形，由EF及OF的長(zhǎng)，求出OE的長(zhǎng)，根據(jù)GE=2OE，得到GE的長(zhǎng)，最后利用菱形的對(duì)角線(xiàn)乘積的一半即可求出菱形EFGC的面積；
（3）當(dāng)線(xiàn)段AB與BC滿(mǎn)足

AB

BC

=

3

2

時(shí)，BG=CG，理由為：在直角三角形ABF中，利用特殊角的三角函數(shù)值及銳角三角函數(shù)定義求出∠ABF的度數(shù)，進(jìn)而確定出∠FBC的度數(shù)，再由折疊得到∠FBE=∠EBC，求出∠EBC為30°，可得出∠BEC為60°，再由GC=CE得到三角形CGE為等邊三角形，再由30°所對(duì)的直角邊EC等于斜邊BE的一半，得到GE為BE的一半，即G為BE的中點(diǎn)，利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，得到CG與BG相等都為BE的一半．

解答：解：（1）根據(jù)翻折的方法可得：EF=EC，∠FEG=∠CEG，
在△EFG和△ECG中，
∵

EF=EC ∠FEG=∠CEG GE=GE

，
∴△EFG≌△ECG（SAS），
∴FG=GC，
∵線(xiàn)段FG是由EF繞F旋轉(zhuǎn)得到的，
∴EF=FG，
∴EF=EC=FG=GC，
∴四邊形FGCE是菱形；

（2）連接FC，交GE于O點(diǎn)，
根據(jù)折疊可得：BF=BC=10，
∵AB=8，
在Rt△ABF中，
根據(jù)勾股定理得：AF=

BF2-AB2

=6，
∴FD=AD-AF=10-6=4，
設(shè)EC=x，則DE=8-x，EF=x，
在Rt△FDE中：FD²+DE²=EF²，即4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
在Rt△FDC中：FD²+DC²=CF²，
則：4²+8²=FC²，
解得：FC=4

5

，
∵四邊形FGCE是菱形，
∴FO=

1

2

FC=2

5

，EO=

1

2

GE，GE⊥FC，
在Rt△FOE中：FO²+OE²=EF²，即（2

5

）²+EO²=5²，
解得：EO=

5

，
∴GE=2EO=2

5

，
則S_菱形CEFG=

1

2

×FC×GE=

1

2

×4

5

×2

5

=20；

（3）當(dāng)

AB

BC

=

3

2

時(shí)，BG=CG，理由為：
由折疊可得：BF=BC，∠FBE=∠CBE，
∵在Rt△ABF中，

AB

BC

=

3

2

，
∴cos∠ABF=

3

2

，即∠ABF=30°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠FBC=60°，EC=

1

2

BE，
∴∠FBE=∠CBE=30°，
∵∠BCE=90°，
∴∠BEC=60°，
又∵GC=CE，
∴△GCE為等邊三角形，
∴GE=CG=CE=

1

2

BE，
∴G為BE的中點(diǎn)，
則CG=BG=

1

2

BE．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，折疊變換及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，以及含30°直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及判定是解本題的關(guān)鍵．