Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣3，0)，點(diǎn)C(0，3)，點(diǎn)D為二次函數(shù)的頂點(diǎn)，DE為二次函數(shù)的對(duì)稱軸，點(diǎn)E在x軸上．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）在拋物線A、C兩點(diǎn)之間有一點(diǎn)F，使△FAC的面積最大，求F點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）直線DE上是否存在點(diǎn)P到直線AD的距離與到x軸的距離相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3，D(﹣1，4)；（2）F點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣，)；（3）存在，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1，﹣1)或(﹣1，﹣﹣1)

【解析】

（1）把代入得得到關(guān)于的方程組，然后解方程組即可求出拋物線解析式，再把解析式配成頂點(diǎn)式可得D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如圖2，作FQ∥y軸交AC于Q，先利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，設(shè)，則，則可表示出，，根據(jù)三角形面積公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）設(shè)，根據(jù)得到，最后分兩種情況求解即可得出結(jié)論．

解：（1）把代入得

，

∴ ，

∴拋物線的解析式為：，

∵，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：；

（2）如圖2，作FQ∥y軸交AC于Q，

設(shè)直線AC的解析式為，

把代入，

得，

解得，

∴直線AC的解析式為： ．

設(shè)，則，

∴，

∴=，

當(dāng)時(shí)，△FAC的面積最大，此時(shí)F點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，），

（3）存在．

∵D（﹣1，4），A（﹣3，0），E（﹣1，0），

∴，

設(shè)，則，，如圖3，

∵∠HDP=∠EDA，∠DHP=∠DEA=90°

∴，

∴，

∴，

當(dāng)t＞0時(shí)，，解得：，

當(dāng)t＜0時(shí)，，解得： ，

綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為或