Question

16．如圖，點A的坐標是（-2，0）點B的坐標是（4，0），一次函數y=x+3的圖象是直線l，點P（a，b）在直線l上．
（1）若點P在第二象限內，設△OPA的面積為S，求S關于a的函數關系式，并求a的取值范圍；
（2）若一次函數y=x+3的圖象與x軸的交點為C，當a取何值時△CPB是直角三角形．

Answer 1

分析 （1）先求得直線l與x軸的交點坐標以及AO的長，再根據點P（a，b）在直線l：y=x+3上，確定點P離x軸的距離，最后根據三角形的面積計算公式，求得S關于a的函數關系式和a的取值范圍；
（2）先判斷△COD是等腰直角三角形，再分兩種情況進行討論：∠CP₁B是直角和∠CBP₂是直角，分別求得a的值．

解答 解：（1）在一次函數y=x+3中，當y=0時，x=-3，
∴直線l與x軸交于（-3，0），
∵點A的坐標是（-2，0），
∴AO=2，
∵點P（a，b）在直線l：y=x+3上，
∴b=a+3，
∴△OPA的面積=$\frac{1}{2}$×AO×|y_P|，
即S=$\frac{1}{2}$×2×|b|，
∵點P在第二象限內，
∴S=$\frac{1}{2}$×2×（a+3）=a+3（-3＜a＜0）；

（2）如圖，在一次函數y=x+3中，當x=0時，y=3，
∴直線l與y軸交于D（0，3），
∴△COD是等腰直角三角形，
∴∠DCO=45°，
①當∠CP₁B是直角時，△BCP₁是等腰直角三角形，
此時，BC=4-（-3）=7，點P₁在第一象限，離x軸的距離為3.5，離y軸的距離為0.5，
∴P₁（0.5，3.5）；
②當∠CBP₂是直角時，△BCP₂是等腰直角三角形，
此時，BP₂=BC=4-（-3）=7，點P₂在第一象限，離x軸的距離為7，離y軸的距離為4，
∴P₂（4，7），
綜上所述，當a取0.5或4時，△CPB是直角三角形．

點評 本題主要考查了兩條直線相交問題，解決問題的關鍵是掌握三角形面積的計算方法，以及等腰直角三角形的性質．解題時注意分類討論思想的運用．