Question

 

已知拋物線上有不同的兩點E和F．

（1）求拋物線的解析式．

（2）如圖，拋物線與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和B，M為AB的中點，∠PMQ在AB的同側以M為中心旋轉，且∠PMQ＝45°，MP交y軸于點C，MQ交x軸于點D．設AD的長為m（m＞0），BC的長為n，求n和m之間的函數(shù)關系式．

（3）當m，n為何值時，∠PMQ的邊過點F．

 

Answer 1

 

（1）

（2）（m＞0）

（3）當　　或時，∠PMQ的邊過點F

解析:

解：（1）拋物線的對稱軸為．　……..（1分）

∵　拋物線上不同兩個點E和F的縱坐標相同，

∴　點E和點F關于拋物線對稱軸對稱，則　，且k≠－2．

∴　拋物線的解析式為．　　　　　　　　　　　　……..（2分）

（2）拋物線與x軸的交點為A（4，0），與y軸的交點為B（0，4），

∴　AB＝，AM＝BM＝．　　　　　　　　　　　　　　　　……..（3分）

在∠PMQ繞點M在AB同側旋轉過程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°，

在△BCM中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°，

在直線AB上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°．

∴　∠BCM＝∠AMD．

故　△BCM∽△AMD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……..（4分）

∴　，即　，．

故n和m之間的函數(shù)關系式為（m＞0）．　　　　　　　　　　……..（5分）

（3）∵　F在上，

　　 ∴　，

　　化簡得，，∴　k1＝1，k2＝3．　　　　

　　即F1（－2，0）或F2（－4，－8）．　　　　　　　　　　　　　……..（6分）

　�、費F過M（2，2）和F1（－2，0），設MF為，

　　則　　　解得，　∴　直線MF的解析式為．

　　直線MF與x軸交點為（－2，0），與y軸交點為（0，1）．

　　若MP過點F（－2，0），則n＝4－1＝3，m＝；

　　若MQ過點F（－2，0），則m＝4－（－2）＝6，n＝．　　　……..（7分）

　�、贛F過M（2，2）和F1（－4，－8），設MF為，

　　則　　解得，　∴　直線MF的解析式為．

　　直線MF與x軸交點為（，0），與y軸交點為（0，）．

　　若MP過點F（－4，－8），則n＝4－（）＝，m＝；

　　若MQ過點F（－4，－8），則m＝4－＝，n＝．　　……..（8分）

　故當　　或時，∠PMQ的邊過點F．