Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標分別為（4，0）、（4，3），動點M、N分別從點O、B同時出發(fā)，以每小時1個單位的速度運動，其中點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動，過點N作NP⊥BC交AC于點P，連接MP．
（1）直接寫出OA的長度；
（2）試說明△CPN∽△CAB的理由；
（3）試探究在兩點的運動過程中，△MPA的面積是否存在著最大值？若不存在，請說明理由；若存在，則求出此時運動了多少小時，并求出△MPA面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據點A的坐標可直接寫出OA的長度；
（2）根據四邊形OABC為矩形，推出AB⊥BC，又知NP⊥BC，可推出AB∥NP，進而推出AB∥NP，可證△CPN∽△CAB；
（3）設兩點的運動時間為x小時，由已知條件求出CN，然后根據△CPN∽△CAB，求出PN，即可求出點P的坐標，再將數值代入三角形面積公式，即可求解．
解答：解：（1）根據點A的坐標可直接得出OA=4；
答：（1）OA的長度為4．

（2）∵四邊形OABC為矩形，
∴AB⊥BC，
又∵NP⊥BC，
∴AB∥NP，
∴△CPN∽△CAB；

（3）設兩點的運動時間為x小時，
∵AB=OC=3，OA=BC=4，
則CN=AM=4-x，
∵△CPN∽△CAB，=，
∴PN=，可求的P點的坐標為（4-x，x），
∴S_△MPA=（4-x）•x=-（x-2）²+，
∴當x=2時，△MPA面積的最大值=．
答：△MPA面積的存在最大值，最大值為，此時兩點運動了2小時．
點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定與性質，二次函數的最值，矩形的性質等知識點的理解和掌握，此題綜合性較強，涉及到動點問題，有一定的拔高難度，屬于中檔題．