Question

（2013•南開(kāi)區(qū)一模）如圖，已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在OC的延長(zhǎng)線上，∠B=∠D=30°．
（1）判斷直線AD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若AC=6，求⊙O的半徑和線段AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OA，根據(jù)圓周角定理求出∠O的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠OAD，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）得出等邊三角形AOC，求出OA，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出tanO=

AD

OA

，代入求出即可．

解答：（1）解：直線AD與⊙O的位置關(guān)系是相切，
理由是：
連接OA，
∵弧AC所對(duì)的圓心角是∠AOC，所對(duì)的圓周角是∠ABC，∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵∠D=30°，
∴∠OAD=180°-30°-60°=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是⊙O半徑，
∴AD是⊙O切線，
即直線AD與⊙O的位置關(guān)系是相切；

（2）解：∵由（1）知：∠AOC=60°，OA=OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴OA=OC=AC=6，
在Rt△OAD中，tan60°=

AD

OA

=

AD

6

，
∴AD=6

3

，
答：⊙O半徑是6，AD長(zhǎng)是6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是切線的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)的定義，等邊三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，圓周角定理等，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．