Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，點B的坐標為（4，3）．
（1）直接寫出A、C兩點的坐標；
（2）平行于對角線AC的直線m從原點O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，設(shè)直線m與矩形OABC的兩邊分別交于點M、N，設(shè)直線m運動的時間為t（秒）．
①若MN=AC，求t的值；
②設(shè)△OMN的面積為S，當t為何值時，S=．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為四邊形OABC是矩形且點B的坐標為（4，3），所以可知，OA=CB=4，OC=AB=3，故可知A、C兩點的坐標；
（2）①可以分為兩種情況：當M、N分別在OA、OC上時，可證明△OMN∽△OAC，由題意可求得OM的長，即可求得t的值；當M、N分別在AB、BC上時，可證明△BMN∽△BAC，由題意可求得BM的長，即可由相似三角形的性質(zhì)求得t的值，綜合以上兩種情況即是要求的t值．
②可以分為兩種情況：當M、N分別在OA、OC上時，可證明△OMN∽△OAC，由題意可求得OM、ON的長，即可求得面積的表達式，再由面積為可得t的值；當M、N分別在AB、BC上時，由△DAM∽△AOC，可得AM，由△BMN∽△BAC，可得BN，即可得BM、CN，由S=矩形OABC的面積-Rt△OAM的面積-Rt△MBN的面積-Rt△NCO的面積，可得關(guān)于t的表達式，再由面積為可得t的值，綜合以上兩種情況即是要求的t值．
解答：解：（1）A（4，0），C（0，3）；
（2）①x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，直線m運動的時間為t時，
可以分為兩種情況：
當M、N分別在OA、OC上時，如下圖所示：

∵直線m平行于對角線AC
∴△OMN∽△OAC
∴==
∴t=2s；
當M、N分別在AB、BC上時，如下圖所示：

∵直線m平行于對角線AC
∴△BMN∽△BAC
∴==
∴t=6
綜上所述，當t=2或6時，MN=AC
②當0＜t≤4時，OM=t，
由△OMN∽△OAC，
得，
∴ON=t，S==
∴t=2；
當4＜t＜8時，
如圖，∵OD=t，∴AD=t-4．

由△DAM∽△AOC，可得AM=（t-4）
∴BM=6-t．
由△BMN∽△BAC，可得BN=BM=8-t
∴CN=t-4
S=矩形OABC的面積-Rt△OAM的面積-Rt△MBN的面積-Rt△NCO的面積
=12--（8-t）（6-t）-
=-+3t，
∴-+3t=
解得
取t=4+2
故當t=2或4+2時，△OMN的面積S=．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及分類討論思想．