Question

【題目】如圖，在△ABC中，BA＝BC，以AB為直徑作半圓⊙O，交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E．

（1）求證：DE為⊙O的切線；

（2）求證：BD2＝ABBE．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）連接OD、BD，根據(jù)圓周角定理可得∠ADB＝90°，繼而得出點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，判斷出OD是三角形ABC的中位線，利用中位線的性質(zhì)得出∠ODE＝90°，這樣可判斷出結(jié)論．

（2）根據(jù)題意可判斷△BED∽△BDC，從而可得BD2＝BCBE，將BC替換成AB即可得出結(jié)論．

證明：（1）連接OD、BD，則∠ADB＝90°（圓周角定理），

∵BA＝BC，

∴CD＝AD（三線合一），

又∵AO＝OB，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥BC，

∵∠DEB＝90°，

∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，

故可得DE為⊙O的切線；

（2）∵∠EBD＝∠DBC，∠DEB＝∠CDB，

∴△BED∽△BDC，

∴，

又∵AB＝BC，

∴ ，

故BD2＝ABBE．