Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠D =∠BCD = 90°，∠B = 60°，AB= 6，AD = 9，點(diǎn)E是CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（E不與D重合），過點(diǎn)E作EF∥AC，交AD于點(diǎn)F（當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，EF與AC重合），把△DEF沿著EF對(duì)折，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G,如圖①．

1.求CD的長及∠1的度數(shù)；

2.設(shè)DE = x，△GEF與梯形ABCD重疊部分的面積為y．求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求x為何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？

3.當(dāng)點(diǎn)G剛好落在線段BC上時(shí),如圖②,若此時(shí)將所得到的△EFG沿直線CB向左平移，速度為每秒1個(gè)單位，當(dāng)E點(diǎn)移動(dòng)到線段AB上時(shí)運(yùn)動(dòng)停止.設(shè)平移時(shí)間為t（秒）,在平移過程中是否存在某一時(shí)刻t，使得△ABE為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由

 

Answer 1

 

1.CD=   ∠1=30°

2.Y

 當(dāng)時(shí)，y的值最大，y的最大值為

3.①若AE=BE, 解得t=9

   ②若AB=AE,解得t=9-2

③若BA=BE，解得t=12-

解析:

（1）  過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H                （1分）

∵在Rt△AHB中，AB=6，∠B=60°

∴AH=AB·=

∵四邊形ABCD為直角梯形

∴四邊形AHCD為矩形

∴CD=AH=                         （2分）

∵ 

∴∠CAD=30°

∵EF∥AC

∴∠1=∠CAD=30°                        （4分）

    （2）點(diǎn)G恰好在BC上，由對(duì)折的對(duì)稱性可知△FGE≌△FDE  

∴ GE=DE =x，∠FEG=∠FED=60°

∴∠GEC=60°

因?yàn)椤鰿EG是直角三角形

∴∠EGC=30°

∴在Rt△CEG中，EC=EG=x

由DE+EC=CD 得 

∴x=                             （5分）

當(dāng)時(shí)

∵＞0，對(duì)稱軸為y軸

∴當(dāng)，y隨x的增大而增大

∴當(dāng)x=時(shí)，=            （6分）

當(dāng)＜x≤時(shí)，設(shè)FG，EG分別交BC于點(diǎn)M、N

∵DE=x

∴EC=，NE=2

∴NG=GE－NE==

又∵∠MNG=∠ENC=30°，∠G=90°

∴MG==

               （7分）

∵，對(duì)稱軸為直線

∴當(dāng)＜x≤時(shí)，y有最大值

∴當(dāng)時(shí)，=               （8分）

綜合兩種情形：由于＜ 

∴ 當(dāng)時(shí)，y的值最大，y的最大值為                 （9分）

(3)由題意可知:AB=6,分三種情況：

   ①若AE=BE, 解得t=9

   ②若AB=AE,解得t=9-2

③若BA=BE，解得t=12-                                             (12分)