Question

（2013•江寧區(qū)二模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-x²-2x+2的圖象與y軸交于點(diǎn)C，以O(shè)C為一邊向左側(cè)作正方形OCBA．

（1）判斷點(diǎn)B是否在二次函數(shù)y=-x²-2x+2的圖象上？并說(shuō)明理由；
（2）用配方法求二次函數(shù)y=-x²-2x+2的圖象的對(duì)稱軸；
（3）如圖2，把正方形OCBA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α后得到正方形A₁B₁C₁O（0°＜α＜90°）．
①當(dāng)tanα﹦

1

2

時(shí)，二次函數(shù)y=-x²-2x+2的圖象的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PB₁C₁為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
②在二次函數(shù)y=-x²-2x+2的圖象的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PB₁C₁為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)tanα的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由﹒

Answer 1

分析：（1）令x=0，求出y的值，得到正方形ABCO的邊長(zhǎng)，然后寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再把橫坐標(biāo)代入二次函數(shù)關(guān)系式，計(jì)算即可驗(yàn)證；
（2）根據(jù)配方法，先提取-1，然后整理成完全平方公式的形式得到頂點(diǎn)式解析式，再寫(xiě)出對(duì)稱軸即可；
（3）①設(shè)旋轉(zhuǎn)后的正方形OA₁B₁C₁的邊B₁C₁交y軸于點(diǎn)D，二次函數(shù)y=-x²-2x+2的圖象的對(duì)稱軸交OA₁于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，然后分（i）點(diǎn)B₁為直角頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)tanα=

1

2

求出EF，再利用勾股定理列式求出OE，然后求出A₁E，再根據(jù)Rt△EFO和Rt△EA₁P₁相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出P₁E，然后求出P₁F，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；（ii）點(diǎn)C₁為直角頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)同角的余角相等求出∠P₃=∠EOF，再根據(jù)正切值求出P₃F，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；（iii）B₁C₁為斜邊時(shí)，以B₁C₁為直徑的圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求，求出∠AOA₁=∠C₁OD，再根據(jù)α的正切值求出C₁D=1，得到點(diǎn)D是B₁C₁的中點(diǎn)，再求出以B₁C₁為直徑的圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)只有一個(gè)P₂，然后利用勾股定理列式求出OD的長(zhǎng)，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②根據(jù)正方形的性質(zhì)，點(diǎn)A₁落在對(duì)稱軸上時(shí)，點(diǎn)A₁即為所求的點(diǎn)P，利用勾股定理求出P₁F，然后根據(jù)銳角的正切的定義寫(xiě)出即可；點(diǎn)P為A₁B₁的延長(zhǎng)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)，由Rt△P₂A₁E和Rt△OFE相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出A₁E=4EF，設(shè)再用EF表示出OE，在Rt△OEF中，利用勾股定理列出方程求出EF的長(zhǎng)，再根據(jù)銳角的正切的定義列式即可得解．

解答：解：（1）令x=0，y=2，
∴正方形的邊長(zhǎng)為2，
∴由題意得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，2），
把x=-2代入二次函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x²-2x+2中，得y=2，
所以點(diǎn)B在二次函數(shù)y=-x²-2x+2的圖象上；

（2）y=-x²-2x+2=-（x²+2x-2）=-（x+1）²+3，
所以，二次函數(shù)y=-x²-2x+2的圖象的對(duì)稱軸直線x=-1；

（3）①存在．
設(shè)旋轉(zhuǎn)后的正方形OA₁B₁C₁的邊B₁C₁交y軸于點(diǎn)D，
二次函數(shù)y=-x²-2x+2的圖象的對(duì)稱軸交OA₁于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，
（i）當(dāng)點(diǎn)B₁為直角頂點(diǎn)，顯然A₁B₁與對(duì)稱軸的交點(diǎn)P₁即為所求，
∵tanα=

EF

OF

=

EF

1

=

1

2

，
∴EF=

1

2

，
根據(jù)勾股定理，OE=

EF2+OF2

=

( 1 2 )2+12

=

5

2

，
∴A₁E=2-

5

2

，
由Rt△EFO∽R(shí)t△EA₁P₁，可得

A1E

EF

=

P1E

OE

，
即

2- 5 2

1 2

=

P1E

5 2

，
解得P₁E=2

5

-

5

2

，
∴P₁F=2

5

-

5

2

+

1

2

=2

5

-2，
因此，P₁點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2

5

-2）；
（ii）當(dāng)點(diǎn)C₁為直角頂點(diǎn)，顯然射線C₁O與對(duì)稱軸的交點(diǎn)P₃即為所求，
∵∠EOF+∠FOP₃=90°，∠FOP₃+∠P₃=90°，
∴∠P₃=∠EOF=α，
tan∠P₃=tanα=

OF

P3F

=

1

P3F

=

1

2

，
解得P₃F=2，
因此，P₃點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，-2）；
（iii）當(dāng)B₁C₁為斜邊時(shí)，以B₁C₁為直徑的圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求，
由已知，∵∠AOA₁=∠C₁OD，
∴tanα﹦

C1D

OC1

=

1

2

，
∴C₁D=

1

2

OC₁=1，即點(diǎn)D是B₁C₁的中點(diǎn)，
∵B₁C₁的中點(diǎn)D到對(duì)稱軸的距離恰好等于1，
∴以B₁C₁為直徑的圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)只有一個(gè)P₂，
根據(jù)勾股定理，OD=

OC12+C1D2

=

22+12

=

5

，
因此，P₂點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，

5

），
故滿足題設(shè)條件的P點(diǎn)有三個(gè)：P₁（-1，2

5

-2），P₂（-1，

5

），P₃（-1，-2）；


②存在．
如圖1，點(diǎn)A₁落在對(duì)稱軸上時(shí)，根據(jù)勾股定理，P₁F=

22-12

=

3

，
tanα=

P1F

OF

=

3

1

=

3

；
如圖2，點(diǎn)P為A₁B₁的延長(zhǎng)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)，
∵△PB₁C₁為等腰直角三角形，
∴P₂B₁=B₁C₁=2，
∴A₁P₂=2+2=4，
易得，Rt△P₂A₁E∽R(shí)t△OFE，
∴

A1P2

OF

=

A1E

EF

，
即

4

1

=

A1E

EF

，
∴A₁E=4EF，
∴OE=2-4EF，
在Rt△OEF中，OF²+EF²=OE²，
即1²+EF²=（2-4EF）²，
整理得，15EF²-16EF+3=0，
解得EF=

8- 19

15

或EF=

8+ 19

15

（舍去），
所以，tanα=

EF

OF

=

EF

1

=

8- 19

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了求二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，正方形的性質(zhì)，配方法，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰直角三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于第（3）小題的兩個(gè)小題都要分情況討論，并且運(yùn)算量較大．