Question

在圖中，把一副直角三角板ABC和EFG(其短直角邊長(zhǎng)均為4)疊放在一起(如圖①)，且使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合．現(xiàn)將三角板EFG繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：0°＜α＜90°)，四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過(guò)程中兩三角板的重疊部分(如圖②)．

(1)在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

(2)聯(lián)結(jié)HK，在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)BH＝x，△GKH的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

(3)在(2)的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的？若存在，求出此時(shí)x的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BH＝CK，四邊形CHGK的面積不變． 　　證明：聯(lián)結(jié)CG 　　∵△ABC為等腰直角三角形，O(G)為斜邊AB中點(diǎn)， 　　∴CG＝BG，CG⊥AB． 　　∴∠ACG＝∠B＝45o， 　　∵∠BGH與∠CGK均為旋轉(zhuǎn)角， 　　∴∠BGH＝∠CGK． 　　∴△BGH≌△CGK．　　3分 　　∴BH＝CK，S△BGH＝S△CGK． 　　∴S四邊形CHGK＝S△CHG＋S△CGK＝S△CHG＋S△BGH＝S△ABC＝＝4． 　　即：S四邊形CHGK的面積為4，是一個(gè)定值，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中沒(méi)有變化．　　4分 　　(2)∵AC＝BC＝4，BH＝x， 　　∴CH＝4－x，CK＝x． 　　由S△GHK＝S四邊形CHGK－S△CHK， 　　得， 　　∴． 　　∵， 　　∴．　　6分 　　(3)不存在． 　　根據(jù)題意，得． 　　化簡(jiǎn)，得　． 　　∵， 　　∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根． 　　即不存在這樣的位置，使△GKH的面積等于△ABC面積的．　　8分