Question

如圖，在△ABO中，OA=OB，C是邊AB的中點，以O為圓心的圓過點C，且與OA交于點E、與OB交于點F，連接CE、CF．
（1）AB與⊙O相切嗎，為什么？
（2）若∠AOB=∠ECF，試判斷四邊形OECF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等腰三角形的性質由OA=OB，C是邊AB的中點得到OC⊥AB，然后根據切線的判定方法即可得到AB與⊙O相切；
（2）根據等腰三角形的性質得∠AOC=∠BOC，再利用“SAS”可判斷△EOC≌△FOC，則CE=CF，∠ECO=∠FCO，于是∠AOB=2∠EOC，∠ECF=2∠ECO，而∠AOB=∠ECF，所以∠EOC=∠ECO，則CE=OE，得到CE=OE=OF=CF，然后利用菱形的判定方法得到四邊形OECF為菱形．
解答：解：（1）AB與⊙O相切．理由如下：
連結OC，
∵OA=OB，C是邊AB的中點，
∴OC⊥AB，
而OC為⊙O的半徑，
∴AB與⊙O相切于C；

（2）四邊形OECF為菱形．理由如下：
∵OA=OB，C是邊AB的中點，
∴∠AOC=∠BOC，
∵在△EOC和△FOC中，
，
∴△EOC≌△FOC（SAS），
∴CE=CF，∠ECO=∠FCO，
∵∠AOC=∠BOC，∠ECO=∠FCO，
∴∠AOB=2∠EOC，∠ECF=2∠ECO，
又∵∠AOB=∠ECF，
∴∠EOC=∠ECO，
∴CE=OE，
∴CE=OE=OF=CF，
∴四邊形OECF為菱形．
點評：本題考查了切線的判定：經過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．也考查了菱形的判定方法．