Question

已知關于x的一元二次方程2x²+（a+4）x+a=0．
（1）求證：無論a為任何實數，此方程總有兩個不相等的實數根；
（2）拋物線與x軸的一個交點的橫坐標為，其中a≠0，將拋物線C₁向右平移個單位，再向上平移個單位，得到拋物線C₂．求拋物線C₂的解析式；
（3）點A（m，n）和B（n，m）都在（2）中拋物線C₂上，且A、B兩點不重合，求代數式2m³-2mn+2n³的值．

Answer 1

（1）證明：∵△=（a+4）²-4×2a=a²+16，
而a²≥0，
∴a²+16＞0，即△＞0．
∴無論a為任何實數，此方程總有兩個不相等的實數根．

（2）∵當時，y=0，
∴2×（）²+（a+4）×+a=0，
∴a²+3a=0，即a（a+3）=0，
∵a≠0，
∴a=-3．
∴拋物線C₁的解析式為y=2x²+x-3=2（x+）²-，
∴拋物線C₁的頂點為（-，-），
∴拋物線C₂的頂點為（0，-3）．
∴拋物線C₂的解析式為y=2x²-3．

（3）∵點A（m，n）和B（n，m）都在拋物線C₂上，
∴n=2m²-3，m=2n²-3，
∴n-m=2（m²-n²），
∴n-m=2（m-n）（m+n），
∴（m-n）[2（m+n）+1]=0，
∵A、B兩點不重合，即m≠n，
∴2（m+n）+1=0，
∴m+n=-，
∵2m²=n+3，2n²=m+3，
∴2m³-2mn+2n³=2m²•m-2mn+2n²•n=（n+3）•m-2mn+（m+3）•n=3（m+n）=．
分析：（1）先求出判別式的值，根據△＞0時，方程有兩個不相等的實數根，即可得出結論；
（2）將點（，0）代入拋物線C₁解析式，得出a的值，從而確定C₁解析式，根據平移的規(guī)律可得出拋物線C₂的解析式；
（3）將點A（m，n）和B（n，m）代入拋物線C₂的解析式，通過整理、化簡可得出代數式2m³-2mn+2n³的值．
點評：本題考查了二次函數的綜合題，涉及了根的判別式、二次函數的幾何變換及代數式求值的知識，同學們需要注意培養(yǎng)自己解決綜合題的能力，第三問需要我們靈活變換才能得出答案．