Question

如圖，已知△ABC是等邊三角形，邊長(zhǎng)為10，點(diǎn)D、E、F分別在邊AB、BC、AC上，且AD=BE=CF，
（1）設(shè)AD為x，△ADF的面積為y，當(dāng)x為何值時(shí)，△ADF的面積最大，最大面積是多少？
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，△ADF是直角三角形？

Answer 1

分析：（1）過F作AB的垂線，垂足為H，可得FH=AF×sin60°=（10-x）×

3

2

，△ADF的面積為y=-

3

4

x2+5x，根據(jù)二次函數(shù)的最值公式，即可求出當(dāng)x為何值時(shí)，△ADF的面積最大值；
（2）①△ADF是直角三角形，令∠ADF是直角，則FD²+AD²=AF²，②△ADF是直角三角形，令∠AFD是直角，則FD²+AF²=AD²，根據(jù)勾股定理列方程，解答出即可．

解答：解：（1）∵AD為x，AD=BE=CF，
∴AF=10-x，
過F作AB的垂線，垂足為H，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=60°，則FH=AF×sin60°=（10-x）×

3

2

，
∴y=

1

2

×x×（10-x）×

3

2

=-

3

4

x2+

5 3

2

x，
∴x=-

b

2a

=

5 3 2

2× 3 4

=5，
y=

4ac-b2

4a

=

0-( 5 3 2 )2

4×(- 3 4 )

=

25 3

4

，
綜上，當(dāng)x=5，△ADF的面積最大，最大面積是

25 3

4

；

（2）①如果△ADF是直角三角形，令∠ADF是直角，根據(jù)勾股定理的逆定理得：FD²+AD²=AF²，
則[(10-x)×

3

2

]2+x²=（10-x）²，
解得：x₁=-10（舍去），x₂=

10

3

；
②如果△ADF是直角三角形，令∠AFD是直角，根據(jù)勾股定理的逆定理得：FD²+AF²=AD²，
則[

3

2

x]2+（10-x）²=x²，
解得，x₁=20（舍去），x₂=

20

3

；
綜上，當(dāng)x=

10

3

或

20

3

時(shí)，△ADF是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的最值、等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)，注意（2）中分兩種情況討論解答．