Question

方程3x²-8xy+7y²-4x+2y=109的整數解是    ．

Answer 1

【答案】分析：將方程3x²-8xy+7y²-4x+2y=109整理為關于x的一元二次方程，再利用根的判別式以及完全平方數確定所有方程組的解．
解答：解：3x²+（-8y-4）x+（7y²+2y-109）=0，
其判別式△=（y+4）²-12（7y²+2y-109）=4（-5y²+10y+331）應為完全平方數，
設-5y²+10y+331=u²（u為正整數），則（1），
又由-5y²+10y+331-u²=0（2），
其判別式△′=100+20（331-u²）=4×5（336-u²）應為完全平方數．從而336-u²必有因數5，
設336-u²=5v²（v為正整數）（3），
則y=1±v（4），
v²=，
∴1≤v≤8，把v=1，2，3，4，5，6，7，8代入（3）得²=331，316，291，256，211，156，140，16，
易得方程（3）的正整數解為，
代入（1）（4）可得原方程組的四組整數解：（14，9）；（-10，-7）；（2，5）；（2，-3）．
故填：（14，9）；（-10，-7）；（2，5）；（2，-3）．
點評：此題主要考查了一元二次方程根的判別式，以及完全平方數等有關知識，題目綜合性較強．