如圖,將一塊直角三角形紙板的直角頂點(diǎn)放在C(1,)處,兩直角邊分別與x,y軸平行,紙板的另兩個頂點(diǎn)A,B恰好是直線y=kx+
與雙曲線y=
(m>0)的交點(diǎn).
(1)求m和k的值;
(2)設(shè)雙曲線y=(m>0)在A,B之間的部分為L,讓一把三角尺的直角頂點(diǎn)P在L上滑動,兩直角邊始終與坐標(biāo)軸平行,且與線段AB交于M,N兩點(diǎn),請?zhí)骄渴欠翊嬖邳c(diǎn)P使得MN=
AB,寫出你的探究過程和結(jié)論.
(1)k=﹣且m=4 (2)不存在,理由見解析
【解析】
試題分析:(1)由題意易知點(diǎn)A橫坐標(biāo)為1,代入Y=,可用含m的代數(shù)式表示它的縱坐標(biāo);同理可表示點(diǎn)B坐標(biāo),再代入方程組
即可求m和k的值;
(2)用反證法證明.假設(shè)存在,運(yùn)用一元二次方程判別式即可解出.
解:(1)∵A,B在雙曲線y=(m>0)上,AC∥y軸,BC∥x軸,
∴A,B的坐標(biāo)分別(1,m),(2m,).(1分)
又點(diǎn)A,B在直線y=kx+上,
∴(2分)
解得或
(4分)
當(dāng)k=﹣4且m=時,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)都是(1,
,不合題意,應(yīng)舍去;
當(dāng)k=﹣且m=4時,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(1,4),(8,
,符合題意.
∴k=﹣
且m=4.(5分)
(2)假設(shè)存在點(diǎn)P使得MN=AB.
∵AC∥y軸,MP∥y軸,
∴AC∥MP,
∴∠PMN=∠CAB,
∴Rt△ACB∽Rt△MPN,
∴,(7分)
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為P(x,)(1<x<8),
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為M(x,﹣x+
),
∴MP=﹣.
又∵AC=4﹣,
∴,即2x2﹣11x+16=0(※)(9分)
∵△=(﹣11)2﹣4×2×16=﹣7<0.
∴方程(※)無實(shí)數(shù)根.
∴不存在點(diǎn)P使得MN=AB.(10分)
考點(diǎn):反比例函數(shù)綜合題.
點(diǎn)評:此題難度中等,考查反比例函數(shù)的性質(zhì)及坐標(biāo)意義.解答此題時同學(xué)們要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想.
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x |
A、k=-4,m=
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B、k=-
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C、k=-3,m=2 | ||
D、k=-4,m=-2 |
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