Question

（2013•香坊區(qū)三模）直角三角形ABC中，∠C=9O°，P、E分別是邊AB、BC上的點(diǎn)，D為△ABC外一點(diǎn)，DE⊥BC，DE=EC，tan∠DBE=

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，∠BDE=∠PEC，AD∥PE，AB=6，則線(xiàn)段AC的長(zhǎng)為

3 10

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．

Answer 1

分析：作DF⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于F點(diǎn)，易證得四邊形CECF為矩形，由DE=EC，可判斷四邊形CECF為正方形，則DE=DF；再利用PE∥AD，EC∥DF得∠1=∠PEC，∠1=∠2，則∠2=∠PEC，而∠BDE=∠PEC，代換后得∠BDE=∠2，然后根據(jù)“AAS”判斷△BDE≌△ADF，于是BE=AF，即2DE=AC+DF=AC+DE，可計(jì)算出DE=AC，最后利用勾股定理計(jì)算即可．

解答：解：作DF⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于F點(diǎn)，如圖，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=∠BED=90°，
而∠ACB=90°，
∴四邊形CECF為矩形，
∵DE=EC，
∴四邊形CECF為正方形，
∴DE=DF，
∵PE∥AD，EC∥DF，
∴∠1=∠PEC，∠1=∠2，
∴∠2=∠PEC，
∵∠BDE=∠PEC，
∴∠BDE=∠2，
在△BDE和△ADF中，

∠BED=∠F ∠BDE=∠2 DE=DF

，
∴△BDE≌△ADF（AAS），
∴BE=AF，
∵tan∠DBE=

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2

，
∴BE=2DE，
∴2DE=AC+CF，
∴DE=AC，
設(shè)AC=x，則BC=3x，
∴x²+9x²=36，
解得：x=

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，
∴AC=

3 10

5

．
故答案為：

3 10

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理和正方形的判定等知識(shí)，根據(jù)已知得出DE=AC是解題關(guān)鍵．