Question

如圖，一次函數(shù)y₁=ax+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點，已知OA=，tan∠AOC=，點B的坐標為（，m），連接OB．
（1）求反比例函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）作AE⊥x軸于E，根據(jù)正切的定義有tan∠AOC==，可設AE=a，則OE=3a，利用勾股定理計算出OA=a，而OA=，則a=1，得到A點坐標為（3，1），然后把A（3，1）代入y₂=，求出k=1×3=3，從而確定反比例函數(shù)的解析式；把B（-，m）代入y₂=得到m=-2，確定B點坐標為（-，-2），再把A（3，1）、B（-，-2）代入y₁=ax+b得到k、b的方程組，解方程組得到k與b的值，于是可確定一次函數(shù)的解析式；
（2）對于y₁=x-1，令x=0，則y=-1，得到D點坐標為（0，-1），然后利用S_△AOB=S_△ODB+S_△ODA進行計算即可．
解答：解：（1）過A點作AE⊥x軸于E，如圖，
在Rt△OAE中，tan∠AOC==，
設AE=a，則OE=3a，
OA===a，
而OA=，
∴a=1，
∴AE=1，OE=3，
∴A點坐標為（3，1），
把A（3，1）代入y₂=，得k=1×3=3，
∴反比例函數(shù)的解析式為y₂=；
把B（-，m）代入y₂=得-m=3，
解得m=-2，
∴B點坐標為（-，-2），
把A（3，1）、B（-，-2）代入y₁=ax+b得，
解得，
∴一次函數(shù)的解析式為y₁=x-1；

（2）∵對于y₁=x-1，令x=0，則y=-1，
∴D點坐標為（0，-1），
∴S_△AOB=S_△ODB+S_△ODA=×1×+×1×3=．
點評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：點在函數(shù)圖象上，則點的橫縱坐標滿足圖象的解析式；利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；運用三角函數(shù)的定義和勾股定理計算線段的長度．