Question

已知：在矩形ABCD中，E為邊BC上的一點(diǎn)，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F(xiàn)為線段BE上一點(diǎn)，EF=7，連接AF。如圖1，現(xiàn)有一張硬紙片△GMN，∠NGM=90⁰，NG=6，MG=8，斜邊MN與邊BC在同一直線上，點(diǎn)N與點(diǎn)E重合，點(diǎn)G在線段DE上。如圖2，△GMN從圖1的位置出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿EB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿AD向點(diǎn)D勻速移動(dòng)，點(diǎn)Q為直線GN與線段AE的交點(diǎn)，連接PQ。當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)，△GMNP和點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，解答問題：

（1）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)G在線段AE上時(shí)，求t的值；
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)P，使△APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；
（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)△GMN與△AEF重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍。

Answer 1

解：（1）∵∠NGM=90⁰，NG=6，MG=8，，
∴由勾股定理，得NM=10。
當(dāng)點(diǎn)G在線段AE上時(shí)，如圖，

此時(shí)，GG′=MN=10。
∵△GMN從圖1的位置出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿EB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，
∴t=10秒。
（2）存在。
由矩形ABCD中，AB=12，BE=16，得AE=20。
①當(dāng)0＜t≤10時(shí)，線段GN與線段AE相交，如圖，過點(diǎn)Q作QH⊥BC于點(diǎn)H，QI⊥AB于點(diǎn)I，過點(diǎn)P作PJ⊥IJ于點(diǎn)J。

根據(jù)題意，知AP=EN=t，
由△QNE∽△GNM得，即，∴。
由△QHE∽△NGM得，即，
∴。
∴。
若AP=AQ，則，解得，不存在；
若AP=PQ，則，△＜0，無解，不存在；
若AQ=PQ，則，無正數(shù)解，不存在。
②當(dāng)10＜t≤16時(shí)，線段GN的延長(zhǎng)線與線段AE相交，如圖，過點(diǎn)Q作QH⊥BC于點(diǎn)H，QI⊥AB于點(diǎn)I，過點(diǎn)P作PJ⊥IJ于點(diǎn)J。

同上，AP=EN=t，
由△QNE∽△GNM得，即，∴。
由△QHE∽△NGM得，即，
∴。
∴。
若AP=AQ，則，解得。
若AP=PQ，則，△＜0，無解，不存在；
若AQ=PQ，則，無正數(shù)解，不存在。
綜上所述，存在，使△APQ是等腰三角形。
（3）S與t的函數(shù)關(guān)系式為。

（1）由勾股定理，求出MN的長(zhǎng)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到AE上時(shí)的距離MN的長(zhǎng)，離從而除以速度即得t的值。
（2）分0＜t≤10和10＜t≤16兩種情況討論，每種情況分AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ三種情況討論。
（3）當(dāng)0＜t≤7時(shí)，△GMN與△AEF重疊部分的面積等于△QNE的面積，
由（2）①，EN=t，，∴。
當(dāng)7＜t≤10時(shí)，如圖，△GMN與△AEF重疊部分的面積等于四邊形QIFE的面積，它等于△NQE的面積減去△NIF的面積。

由（2）①，EN=t，，∴。
過點(diǎn)I 作IJ⊥BC于點(diǎn)J，
∵EF=7，EN=t，∴。
由△FJI∽△FBA得，即。
由△INJ∽△MNG得，即。
二式相加，得�！�
∴。
當(dāng)10＜t≤時(shí)，如圖，△GMN與△AEF重疊部分的面積等于四邊形GIFM的面積，它等于△GMN的面積減去△INF的面積。
過點(diǎn)I 作IH⊥BC于點(diǎn)H，

∵EF=7，EN=t，∴。
由△FHG∽△FBA得，即。
由△INH∽△MNG得，即。
二式相加，得�！�。
∴。
當(dāng)＜t≤16時(shí)，如圖，△GMN與△AEF重疊部分的面積等于△IFM的面積。

∵，
（同上可得），
∴。
綜上所述，。