Question

（2013•寶山區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過原點(diǎn)O，且與x軸交于另一點(diǎn)A（A在O右側(cè)），頂點(diǎn)為B．艾思軻同學(xué)用一把寬3cm的矩形直尺對(duì)拋物線進(jìn)行如下測量：（1）量得OA=3cm，（2）當(dāng)把直尺的左邊與拋物線的對(duì)稱抽重合，使得直尺左下端點(diǎn)與拋物線的頂點(diǎn)重合時(shí)（如圖1），測得拋物線與直尺右邊的交點(diǎn)C的刻度讀數(shù)為4.5cm．
艾思軻同學(xué)將A的坐標(biāo)記作（3，0），然后利用上述結(jié)論嘗試完成下列各題：
（1）寫出拋物線的對(duì)稱軸；
（2）求出該拋物線的解析式；
（3）探究拋物線的對(duì)稱軸上是否存在使△ACD周長最小的點(diǎn)D；
（4）然后又將圖中的直尺（足夠長）沿水平方向向右平移到點(diǎn)A的右邊（如圖2），直尺的兩邊交x軸于點(diǎn)H，G，交拋物線于E，F(xiàn)，探究梯形EFGH的面積S與線段EF的長度是否存在函數(shù)關(guān)系．
同學(xué)：如上述（3）（4）結(jié)論存在，請你幫艾思軻同學(xué)一起完成，如上述（3）（4）結(jié)論不存在，請你告訴艾思軻同學(xué)結(jié)論不存在的理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線過原點(diǎn)O及A點(diǎn)（3，0），根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求出拋物線的對(duì)稱軸為直線x=

0+3

2

，即x=

3

2

；
（2）先由拋物線的對(duì)稱軸為直線x=

3

2

，設(shè)拋物線的解析式為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-

3

2

）²+k，則頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

3

2

，k），再將x=

9

2

代入，求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為9a+k，根據(jù)MC=4.5，求出a=

1

2

，然后將A點(diǎn)坐標(biāo)（3，0）代入y=

1

2

（x-

3

2

）²+k，求出k=-

9

8

，得到拋物線的解析式為y=

1

2

（x-

3

2

）²-

9

8

，即y=

1

2

x²-

3

2

x；
（3）由于O、A兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，所以連接OC，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D，則△ACD的周長最小．先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線OC的解析式，再將x=

3

2

代入，求出y的值，即可得到D點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）先用含a的代數(shù)式分別表示E，H，F(xiàn)，G四點(diǎn)的坐標(biāo)，得到EH與FG的長度，再根據(jù)梯形的面積公式求出S=

3

2

a²，再運(yùn)用兩點(diǎn)之間的距離公式求出EF=3

1+a2

，則

2S

3

=

EF2

9

-1，整理后得出S=

1

6

EF²-

3

2

，即S是EF長度的二次函數(shù)．

解答：解：（1）∵拋物線過原點(diǎn)O，且與x軸交于另一點(diǎn)A（A在O右側(cè)），OA=3，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=

3

2

；

（2）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=

3

2

，
∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-

3

2

）²+k，
∴頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

3

2

，k）．
如圖1，∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為：ON=

3

2

+3=

9

2

，點(diǎn)C在拋物線y=a（x-

3

2

）²+k上，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為a（

9

2

-

3

2

）²+k=9a+k．
∵M(jìn)C=4.5，
∴9a+k-k=4.5，
∴a=

1

2

，
將A點(diǎn)坐標(biāo)（3，0）代入y=

1

2

（x-

3

2

）²+k，
得

1

2

（3-

3

2

）²+k=0，解得k=-

9

8

，
∴拋物線的解析式為y=

1

2

（x-

3

2

）²-

9

8

，即y=

1

2

x²-

3

2

x；

（3）拋物線的對(duì)稱軸上存在使△ACD周長最小的點(diǎn)D，理由如下：
如圖1，連接OC，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D，則△ACD的周長=AC+AD+CD=AC+OD+CD=AC+OC最�。�
設(shè)直線OC的解析式為y=mx，將點(diǎn)C的坐標(biāo)（

9

2

，

27

8

）代入，
得

9

2

m=

27

8

，解得m=

3

4

，
即直線OC的解析式為y=

3

4

x，
當(dāng)x=

3

2

時(shí)，y=

3

4

×

3

2

=

9

8

．
故所求D點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

，

9

8

）；

（4）梯形EFGH的面積S與線段EF的長度存在函數(shù)關(guān)系，理由如下：
如圖2，設(shè)點(diǎn)E橫坐標(biāo)為a，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（a，

1

2

a²-

3

2

a），H點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），
點(diǎn)F橫坐標(biāo)為a+3，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（a+3，

1

2

（a+3）²-

3

2

（a+3）），G點(diǎn)坐標(biāo)為（a+3，0），
∵梯形EFGH的面積S=

1

2

（EH+FG）•HG=

1

2

[（

1

2

a²-

3

2

a）+

1

2

（a+3）²-

3

2

（a+3）]×3=

3

2

a²，
又∵

1

2

（a+3）²-

3

2

（a+3）-（

1

2

a²-

3

2

a）=3a，EF=

32+(3a)2

=3

1+a2

，
∴

2S

3

=

EF2

9

-1，
∴S=

1

6

EF²-

3

2

，即S是EF長度的二次函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，平移、軸對(duì)稱的性質(zhì)，梯形的面積、兩點(diǎn)之間的距離公式，綜合性較強(qiáng)，難度適中．根據(jù)拋物線的性質(zhì)運(yùn)用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．