Question

如圖1，菱形ABCD中，∠A=60°，點(diǎn)P從A出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊AB、BC、CD勻速運(yùn)動到D終止，點(diǎn)Q從A與P同時(shí)出發(fā)，沿邊AD勻速運(yùn)動到D終止，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t（s）．△APQ的面積S（cm²）與t（s）之間函數(shù)關(guān)系的圖象由圖2中的曲線段OE與線段EF、FG給出．

 

（1）求點(diǎn)Q運(yùn)動的速度；

（2）求圖2中線段FG的函數(shù)關(guān)系式；

（3）問：是否存在這樣的t，使PQ將菱形ABCD的面積恰好分成1：5的兩部分？若存在，求出這樣的t的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）由1（cm/s）

（2）FG段的函數(shù)表達(dá)式為：（6≤t≤9）。

（3）存在。理由見解析。

【解析】

分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象中E點(diǎn)所代表的實(shí)際意義求解．E點(diǎn)表示點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)B重合時(shí)的情形，運(yùn)動時(shí)間為3s，可得AB=6cm；再由，可求得AQ的長度，進(jìn)而得到點(diǎn)Q的運(yùn)動速度。

（2）函數(shù)圖象中線段FG，表示點(diǎn)Q運(yùn)動至終點(diǎn)D之后停止運(yùn)動，而點(diǎn)P在線段CD上繼續(xù)運(yùn)動的情形．如答圖2所示，求出S的表達(dá)式，并確定t的取值范圍。

（3）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動時(shí)，PQ將菱形ABCD分成△APQ和五邊形PBCDQ兩部分，如答圖3所示，求出t的值。當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動時(shí)，PQ將菱形分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分，如答圖4所示，求出t的值。

解：（1）由題意，可知題圖2中點(diǎn)E表示點(diǎn)P運(yùn)動至點(diǎn)B時(shí)的情形，所用時(shí)間為3s，則菱形的邊長AB=2×3=6cm。

此時(shí)如圖1所示，

AQ邊上的高，

，解得AQ=3（cm）。

∴點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為：3÷3=1（cm/s）。

（2）由題意，可知題圖2中FG段表示點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動時(shí)的情形，如圖2所示，

     點(diǎn)Q運(yùn)動至點(diǎn)D所需時(shí)間為：6÷1=6s，點(diǎn)P運(yùn)動至點(diǎn)C所需時(shí)間為12÷2=6s，至終點(diǎn)D所需時(shí)間為18÷2=9s。

因此在FG段內(nèi)，點(diǎn)Q運(yùn)動至點(diǎn)D停止運(yùn)動，點(diǎn)P在線段CD上繼續(xù)運(yùn)動，且時(shí)間t的取值范圍為：6≤t≤9。

過點(diǎn)P作PE⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)E，則

。

∴FG段的函數(shù)表達(dá)式為：（6≤t≤9）。

（3）存在。

菱形ABCD的面積為：6×6×sin60°=18。

當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動時(shí)，PQ將菱形ABCD分成△APQ和五邊形PBCDQ兩部分，如圖3所示，

此時(shí)△APQ的面積。

根據(jù)題意，得，解得s。

當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動時(shí)，PQ將菱形分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分，如圖4所示，

此時(shí)，有，

即，解得s。

綜上所述，存在s和t=s，使PQ將菱形ABCD的面積恰好分成1：5的兩部分。