Question

如圖，直線y=x+1與y軸交于A點，與反比例函數（x＞0）的圖象交于點M，過M作MH⊥x軸于點H，且tan∠AHO=．

（1）求k的值；

（2）設點N（1，a）是反比例函數（x＞0）圖象上的點，在y軸上是否存在點P，使得PM+PN最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【考點】反比例函數綜合題．

【專題】計算題．

【分析】（1）對于直線y=x+1，令x=0求出y的值，確定出A坐標，得到OA的長，根據tan∠AHO的值，利用銳角三角函數定義求出OH的長，根據MH垂直于x軸，得到M橫坐標與A橫坐標相同，再由M在直線y=x+1上，確定出M坐標，代入反比例解析式求出k的值即可；

（2）將N坐標代入反比例解析式求出a的值，確定出N坐標，過N作N關于y軸的對稱點N₁，連接MN₁，交y軸于P（如圖），此時PM+PN最小，由N與N₁關于y軸的對稱，根據N坐標求出N₁坐標，設直線MN₁的解析式為y=kx+b，把M，N₁的坐標代入求出k與b的值，確定出直線MN₁的解析式，令x=0求出y的值，即可確定出P坐標．

【解答】解：（1）由y=x+1可得A（0，1），即OA=1，

∵tan∠AHO==，

∴OH=2，

∵MH⊥x軸，

∴點M的橫坐標為2，

∵點M在直線y=x+1上，

∴點M的縱坐標為3，即M（2，3），

∵點M在y=上，

∴k=2×3=6；

（2）∵點N（1，a）在反比例函數y=的圖象上，

∴a=6，即點N的坐標為（1，6），

過N作N關于y軸的對稱點N₁，連接MN₁，交y軸于P（如圖），

此時PM+PN最小，

∵N與N₁關于y軸的對稱，N點坐標為（1，6），

∴N₁的坐標為（﹣1，6），

設直線MN₁的解析式為y=kx+b，

把M，N₁的坐標得，

解得：，

∴直線MN₁的解析式為y=﹣x+5，

令x=0，得y=5，

∴P點坐標為（0，5）．

【點評】此題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：銳角三角函數定義，待定系數法求一次函數解析式，對稱的性質，以及一次函數與坐標軸的交點，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．