Question

如圖，已知△ABC，以AB為直徑的⊙O經過BC的中點D，DE⊥AC于E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若cosC=

1

2

，DE=6，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析：（1）連OD，先證明OD∥AC，再證明OD⊥DE．
（2）由∠C的余弦值得到∠C的度數(shù)，接著可得到三角形BOD是等邊三角形，由此得三角形ABC也是等邊三角形．求出DC就可得到AB．

解答：（1）證明：如圖，連接OD；（1分）
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°．
∵O為AB中點，D為BC中點，
∴OD為△ABC的中位線．
∴OD∥AC．
∴∠ODE=∠DEC=90°．
即OD⊥DE．
∵點D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切線．（2分）

（2）解：∵cosC=

1

2

，
∴∠C=60°．（3分）
∵OD∥AC，
∴∠BDO=∠C=60°．
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB=60°．
∴△ABC為等邊三角形．
∵在△EDC中，∠DEC=90°，DE=6，
∴DC=4

3

．（4分）
∵D為BC中點，
∴BC=2DC=8

3

．
∴AB=8

3

．
∴⊙O的直徑為8

3

．（5分）

點評：熟悉切線的判定定理．證明圓的切線問題要轉化為證明線段垂直的問題．同時也要熟悉等邊三角形的性質以及含30度的直角三角形三邊的數(shù)量關系．記住特殊角的三角函數(shù)值．