Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AM為∠BAC的平分線，若點M到AC的距離為2，則△AMC的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：首先過點M作MD⊥AB于D，過點M作ME⊥AC于E，由Rt△ABC中，∠BAC=90°，AM為∠BAC的平分線，點M到AC的距離為2，即可得DM=EM=2，四邊形ADME是正方形，△BDM∽△BAC，然后根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案．
解答：解：過點M作MD⊥AB于D，過點M作ME⊥AC于E，
根據題意得：ME=2，
∵AM為∠BAC的平分線，
∴MD=ME=2，
∵∠BAC=90°，∠ADM=∠AEM=90°，
∴四邊形ADME是矩形，DM∥AC，
∵MD=ME，
∴四邊形ADME是正方形，
∴AD=DM=2，
∵AB=3，
∴BD=1，
∵DM∥AC，
∴△BDM∽△BAC，
∴=，
∵S_△BDM=×2×1=1，S_△ABM=AB•DM=×3×2=3，
∴S_△ABC=9，
∴S_△AMC=S_△ABC-S_△ABM=9-3=6．
故答案為：6．
點評：此題考查了角平分線的性質，相似三角形的判定與性質以及正方形的判定與性質等知識．此題難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．