Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，等邊三角形OAB的一個頂點(diǎn)為A（2，0），另一個頂點(diǎn)B在第一象限內(nèi)。
（1）求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）如果一個四邊形是以它的一條對角線為對稱軸的軸對稱圖形，那么我們稱這樣的四邊形為“箏形”。點(diǎn)Q在（1）的拋物線上，且以O(shè)、A、B、Q為頂點(diǎn)的四邊形是“箏形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）設(shè)△OAB的外接圓⊙M，試判斷（2）中的點(diǎn)Q與⊙M的位置關(guān)系，并通過計(jì)算說明理由。

Answer 1

解：（1）過B作BC⊥x軸于C， ∵等邊三角形OAB的一個頂點(diǎn)為A（2，0）， ∴OB=OA=2，AC=OC=1，∠BOC=60°， ∴BC=， ∴B， 設(shè)經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式為： 將A（2，0）代入得：， 解得， ∴經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式為 即；
（2）依題意分為三種情況： （ⅰ）當(dāng)以O(shè)A、OB為邊時， ∵OA=OB， ∴過O作OQ⊥AB交拋物線于Q， 則四邊形OAQB是箏形，且∠QOA=30°， 作QD⊥x軸于D，QD=OD， 設(shè)Q，則， 解得：， ∴Q； （ⅱ）當(dāng)以O(shè)A、AB為邊時，由對稱性可知Q； （ⅲ）當(dāng)以O(shè)B、AB為邊時，拋物線上不存在這樣的點(diǎn)Q使BOQA為箏形， ∴Q或；
（3）點(diǎn)Q在⊙M內(nèi)， 由等邊三角形性質(zhì)可知的外接圓圓心M是（2）中BC與OQ的交點(diǎn)， 當(dāng)Q時， ∵M(jìn)C∥QD， ∴△OMC∽△OQD， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∵， ∴Q在內(nèi)， 當(dāng)Q時，由對稱性可知點(diǎn)Q在內(nèi)， 綜述，點(diǎn)Q在內(nèi)。