Question

（2012•武漢模擬）如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處．
（1）如圖1，若折痕AE=5

5

，且tan∠EFC=

3

4

，求矩形ABCD的周長(zhǎng)；
（2）如圖2，在AD邊上截取DG=CF，連接GE，BD，相交于點(diǎn)H，求證：BD⊥GE．

Answer 1

分析：（1）設(shè)EC=3k，則FC=4k，EF=5k，然后判斷出∠BAF=∠EFC，利用三角函數(shù)的知識(shí)表示出BF、AF，結(jié)合AE的長(zhǎng)，在RT△AFE中利用勾股定理可求出矩形ABCD的邊長(zhǎng)，繼而可得出周長(zhǎng)．
（2）根據(jù)題意可得GD=FC，DE=EF，然后表示出cos∠EFC，及cos∠BAF，根據(jù)∠BAF=∠EFC，可得出一對(duì)相等的比例關(guān)系，繼而可判斷出△DBA∽△EGD，得出∠DBA=∠EGD，然后利用等角代換可確定結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)EC=3k，由tan∠EFC=

3

4

，則FC=4k，EF=5k，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC=8k，
∵∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFB+∠EFC=90°，
∵∠B=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∴tan∠BAF=

3

4

，
∴BF=6k，AF=10k，
在RT△AFE中，AF²+EF²=AE²，AE=5

5

，
∴100k²+25k²=（5

5

）²，
解得：k=1，
∴AB=DC=8，BC=AD=AF=10，
所以矩形ABCD的周長(zhǎng)為36．

（2）∵GD=FC，DE=EF，
∴cos∠EFC=

FC

EF

=

DG

DE

，
∵cos∠BAF=

AB

AF

=

AB

AD

，∠BAF=∠EFC，
∴

DG

DE

=

AB

AD

，
∴△DBA∽△EGD，
∴∠DBA=∠EGD，
∵∠DBA+∠ADB=90°，
∴∠DGH+∠GDH=90°，
∴∠GHD=90°，
故可得BD⊥GE．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了翻折變換及相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合的知識(shí)點(diǎn)較多，解答第一問要求我們能根據(jù)三角函數(shù)值正確表示出三角形的各邊長(zhǎng)，第二問要求我們熟練相似三角形的判定定理，及相似三角形的性質(zhì)．