Question

如圖，正方形ABCO的邊長為4，D為OC邊的中點，將△DCB沿直線BD對折，C點落在M處，BM的延長線交OA于點E,OA，OC分別在x軸和y軸的正半軸上.

（1）求線段OE的長；

（2）求經過D,E兩點，對稱軸為直線x=2的拋物線的解析式；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使四邊形P、E、D、B為頂點的四邊形是梯形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

1）解：∵四邊形ABCO為正方形，D為OC的中點，

         ∴OA=AB=BC=CO=4，OD=DC=2,

           ∠BCO=COA=∠OAB=90°

         ∵△BCD與△BMD關于BD對稱，

          ∴△BCD≌△BMD

           ∴∠DMB=∠BCD=90°,DM=DC=DO=2

             ∠CDB=∠MDB

             ∵DE=DE

        ∴Rt△DOE≌Rt△DME

           ∴∠ODE=∠MDE

           ∴∠ODE+∠BCD=180°÷2=90°

          而∠BCD+∠CBD=90°

              ∴∠ODE=∠CBD

            ∴Rt△CBD∽Rt△ODE

            ∴

            ∴     

    (2)有（1）知，D(0,2),E(1,0),設過D,E兩點，對稱軸為直線的拋物線的解析式為：，得

             解之得 

           ∴      

    （3）存在點P，使以P、E、D、B為頂點的四邊形是梯形，分三種情況討論：

          ①當PE∥BD，PE≠BD時，四邊形PEDB是梯形.

              設直線PE交軸于點F，易證Rt△DEO∽Rt△EOF

            可得，OF=,∴F(0，)

      過E,F兩點，用待定系數法可求直線PE 的解析式為：

         當，此時P點的坐標為（2，） 

        ②當PD∥BE,PD≠BE時，四邊形PDEB為梯形.

             設直線PD交軸于點G

∵PD∥DE，∴∠GDE=∠DEB

∵∠DEG=∠DEB  ∴∠GDE=∠DEG

∴GD=GE,設OG=，在Rt△DGO中，

,OD=2，OE=1，

易求 ，∴G(-)

過D,G兩點用待定系數法可求直線PD 的解析式為:

當，此時點P的坐標是（2，）；

        ③當PB∥DE,PB≠DE時，四邊形PDEB為梯形.

             設直線PD交軸于點H,

 ∵PB∥DE，∴∠DEB=∠EBH, ∠DEO=∠BH0,

∵∠DEO=∠DEB, ∴∠EBH=∠EHB,

∴EB=EH,

在Rt△ABE中，AE=AO-OE=4-1=3，AB=4，

    ∴BE=5=EH,  ∴OH=OE+EH=1+5=6

∴H(6,0)

過B,H兩點用待定系數法可求直線PD 的解析式為:

當，此時點P的坐標是（2，8）；

綜上所述，符合條件的點P有三個，

其坐標分別為（2，），（2，），（2，8）.