Question

已知函數(shù)y₁=x，y₂=

1

2

x²+

1

2

．
（Ⅰ）當自變量x=1時，分別計算函數(shù)y₁、y₂的值；
（Ⅱ）說明：對于自變量x的同一個值，均有y₁≤y₂成立；
（Ⅲ）是否存在二次函數(shù)y₃=ax²+bx+c同時滿足下列兩個條件：
①當x=-1時，函數(shù)值y₁≤y₃≤y₂； ②對于任意的實數(shù)x的同一個值，都有y₁≤y₃≤y₂，
若存在，求出滿足條件的函數(shù)y₃的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）當x=1時，y₁=1，y₂=1；

（2）y1-y2=x-(

1

2

x2+

1

2

)
=-

1

2

x2+x-

1

2

=-

1

2

(x2-2x+1)
=-

1

2

(x-1)2≤0，
∴y₁≤y₂；

（3）假設存在y3=ax2+bx+c，使得y₁≤y₃≤y₂成立，
當x=-1時，y₃=0，y₁=-1，y₂=1，
∴a-b+c=0，
當x=1時，1≤a+b+c≤1，
∴a+b+c=1，
∴b=a+c=

1

2

，
∴y3=ax2+(a+c)x+c，
若x≤ax²+（a+c）x+c，即0≤ax²+（a+c-1）x+c
得

a＞0 (a+c-1)2-4ac≤0

，即

a＞0 (a-c)2-2(a+c)+1≤0

①
若ax2+(a+c)x+c≤

1

2

x2+

1

2

，即(a-

1

2

)x2+(a+c)x+(c-

1

2

)≤0
得

a＜ 1 2 (a+c)2-4(a- 1 2 )(c- 1 2 )≤0

，即

a＜ 1 2 (a-c)2+2(a+c)-1≤0

由不等式①、②得：0＜a＜

1

2

，（a-c）²≤0，a=c=

1

4

，
∴滿足條件的函數(shù)解析式為y3=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

．