Question

【題目】如圖，和是等腰直角三角形，．點為邊上一點，連接、交于點,點恰好是中點，連接．

（1）求證：；

（2）寫出與的關系并證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）AN⊥EM，AN＝EN，理由見解析

【解析】

（1）由∠CED＝∠BCE＝90°，可證得BC∥DE，然后由點N恰好是BD中點，利用ASA可證得△BMN≌△DEN，繼而證得結論；

（2）由△ABC和△CDE是等腰直角三角形，易證得△ABM≌△ACE，則可證得△AME是等腰直角三角形，繼而證得AN⊥EM，AN＝EN．

（1）證明：∵∠CED＝∠BCE＝90°，

∴BC∥DE，

∴∠MBN＝∠EDN，

∵點N恰好是BD中點，

∴BN＝DN，

在△BMN和△DEN中，

，

∴△BMN≌△DEN（ASA），

∴MN＝EN；

（2）位置關系：AN⊥，數量關系：AN＝．

理由如下：

∵△BMN≌△DEN，

∴BM＝DE，

∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，

∴AB＝AC，∠ABM＝∠ACB＝45°，DE＝CE，

∴BM＝CE，

∵∠BCE＝90°，

∴∠ACE＝45°，

∴∠ABM＝∠ACE，

在△ABM和△ACE中，

，

∴△ABM≌△ACE（SAS），

∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE，

∴∠BAM＋∠CAM＝∠CAE＋∠CAM，

即∠MAE＝∠BAC＝90°，

∵MN＝EN，

∴AN⊥EN，AN＝EN.