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如圖所示,某同學在探究二次函數圖象時,作直線y=m平行于x軸,交二次函數y=x2的圖象于A、B兩點,作AC、BD分別垂直于x軸,發(fā)現四邊形ABCD是正方形.
(1)求m的值及A、B兩點的坐標;
(2)如圖所示,將拋物線“y=x2”改為“y=x2-2x+2”,直線CD經過拋物線的頂點P與x軸平行,其它關系不變,求m的值及A、B兩點的坐標.
(3)如圖所示,將圖中的改為“y=ax2+bx+c(a>0),其它關系不變,請直接寫出m的值及A、B兩精英家教網點的坐標(用含有a、b、c的代數式表示)
[提示:拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為(-
b
2a
,
4ac-b2
4a
),對稱軸為x=-
b
2a
].
分析:(1)利用正方形的性質和二次函數的對稱性解答第一問;
(2)用配方法求出y=x2-2x+2的頂點坐標,用m表示A、B兩點的坐標.把其中一點代入函數解析式,求出m的值,問題得解;
(3)先由拋物線y=ax2,求得m=
4
a
,A(
2
a
,
4
a
),B(-
2
a
,
4
a
),再由拋物線y=ax2+bx+c頂點坐標(-
b
2a
,
4ac-b2
4a
)平移整理即得.
解答:解:(1)∵四邊形ABCD是正方形,由拋物線y=x2的對稱性可知,OD=
1
2
AD
∴設點A坐標為(
1
2
m
,m),
代入y=x2,
m=(
1
2
m)2

解得m1=0(舍去),m2=4,
∴m的值是4,點A的坐標為(2,4),
由拋物線的對稱性,可得B點坐標為(-2,4);

(2)如圖,
精英家教網∵y=x2-2x+2=(x-1)2+1,
∴拋物線的頂點P坐標為(1,1),
由題意,點A的縱坐標為m,
∴AD=m-1,
設直線CD與y軸交點為Q,
則DQ=
m-1
2
+1
=
1
2
m+
1
2
,
∴點A的坐標為(
1
2
m+
1
2
,m),
代入y=x2-2x+2中,
整理得m2-6m+5=0,
解得m1=1(舍去),m2=5,
∴m的值為5,點A的坐標為(3,5)
∴由拋物線的對稱性,可求得點B的坐標為(-1,5);

(3)m=
4ac-b2+16
4a

A(
-b+4
2a
,
4ac-b2+16
4a
),
B(
-b-4
2a
,
4ac-b2+16
4a
),
由拋物線y=ax2,求得m=
4
a
,
A、B兩點坐標為A(
2
a
,
4
a
),B(-
2
a
,
4
a
),
把A、B兩點先右移(
b
2a
)個單位,再上移(
4ac-b2
4a
)個單位,
整理得A(
-b+4
2a
,
4ac-b2+16
4a
),B(
-b-4
2a
,
4ac-b2+16
4a
).
點評:本題是二次函數的綜合題型,其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式、拋物線的對稱性及圖象的平移,計算中要結合圖形及實際情況解答.
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(2)如圖所示,將拋物線“y=x2”改為“y=x2-2x+2”,直線CD經過拋物線的頂點P與x軸平行,其它關系不變,求m的值及A、B兩點的坐標.
(3)如圖所示,將圖中的改為“y=ax2+bx+c(a>0),其它關系不變,請直接寫出m的值及A、B兩點的坐標(用含有a、b、c的代數式表示)
[提示:拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為(數學公式數學公式),對稱軸為數學公式].

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(3)如圖所示,將圖中的改為“y=ax2+bx+c(a>0),其它關系不變,請直接寫出m的值及A、B兩點的坐標(用含有a、b、c的代數式表示)
[提示:拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為(),對稱軸為].

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