Question

（2013•濟(jì)寧）如圖，直線y=-

1

2

x+4與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，與直線y=x交于點(diǎn)C．在線段OA上，動(dòng)點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)O做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P、Q其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．分別過點(diǎn)P、Q作x軸的垂線，交直線AB、OC于點(diǎn)E、F，連接EF．若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，在運(yùn)動(dòng)過程中四邊形PEFQ總為矩形（點(diǎn)P、Q重合除外）．
（1）求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是多少？
（2）當(dāng)t為多少秒時(shí)，矩形PEFQ為正方形？
（3）當(dāng)t為多少秒時(shí)，矩形PEFQ的面積S最大？并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線y=-

1

2

x+4與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，得出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用EP∥BO，得出

OB

AO

=

EP

AP

=

1

2

，據(jù)此可以求得點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度；
（2）當(dāng)PQ=PE時(shí)，以及當(dāng)PQ=PE時(shí)，矩形PEFQ為正方形，分別求出即可；
（3）根據(jù)（2）中所求得出s與t的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而利用二次函數(shù)性質(zhì)求出即可．

解答：解：（1）∵直線y=-

1

2

x+4與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，
∴x=0時(shí)，y=4，y=0時(shí)，x=8，
∴

BO

AO

=

4

8

=

1

2

，
當(dāng)t秒時(shí)，QO=FQ=t，則EP=t，
∵EP∥BO，
∴

OB

AO

=

EP

AP

=

1

2

，
∴AP=2t，
∵動(dòng)點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度；

（2）如圖1，當(dāng)PQ=PE時(shí)，矩形PEFQ為正方形，
則∵OQ=FQ=t，PA=2t，
∴QP=8-t-2t=8-3t，
∴8-3t=t，
解得：t=2，
如圖2，當(dāng)PQ=PE時(shí)，矩形PEFQ為正方形，
∵OQ=t，PA=2t，
∴OP=8-2t，
∴QP=t-（8-2t）=3t-8，
∴t=3t-8，
解得：t=4；

（3）如圖1，當(dāng)Q在P點(diǎn)的左邊時(shí)，
∵OQ=t，PA=2t，
∴QP=8-t-2t=8-3t，
∴S_矩形PEFQ=QP•QF=（8-3t）•t=8t-3t²，
當(dāng)t=-

8

2×(-3)

=

4

3

時(shí)，
S_矩形PEFQ的最大值為：

4×(-3)×0-82

4×(-3)

=

16

3

，
如圖2，當(dāng)Q在P點(diǎn)的右邊時(shí)，
∵OQ=t，PA=2t，
∴2t＞8-t，
∴t＞

8

3

，
∴QP=t-（8-2t）=3t-8，
∴S_矩形PEFQ=QP•QF=（3t-8）•t=3t²-8t，
∵當(dāng)點(diǎn)P、Q其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，
∴

8

3

＜t≤4，
當(dāng)t=-

8

2×(-3)

=

4

3

時(shí)，S_矩形PEFQ的最小，
∴t=4時(shí)，S_矩形PEFQ的最大值為：3×4²-8×4=16，
綜上所述，當(dāng)t=4時(shí)，S_矩形PEFQ的最大值為：16．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，得出P，Q不同的位置進(jìn)行分類討論得出是解題關(guān)鍵．