Question

（2012•澄海區(qū)模擬）如圖，在某海域內(nèi)有三個(gè)港口P、M、N．港口M在港口P的南偏東60°的方向上，港口N在港口M的正西方向上，P、M兩港口相距20海里，P、N兩港口相距10

2

海里．求：
（1）港口N在港口P的什么方向上？請(qǐng)說明理由；
（2）M、N兩港口的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．

Answer 1

分析：（1）在Rt△PQM中，由∠MPQ=60°可知∠PMQ=30°，再根據(jù)PM=20海里，可知PQ=

1

2

PM=10海里，在Rt△PQN中，利用銳角三角函數(shù)的定義即可得出∠QPN的度數(shù)；
（2）由（1）可知Rt△PQM為等腰直角三角形，故NQ=PQ，在Rt△PQM中，利用MQ=PQ•tan∠QPM可求出MQ的長(zhǎng)，再由MN=MQ-NQ即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）在Rt△PQM中，
∵∠MPQ=60°，
∴∠PMQ=30°，
又∵PM=20，
∴PQ=

1

2

PM=10（海里），
在Rt△PQN中，cos∠QPN=

PQ

PN

=

10

10 2

=

2

2

，
∴∠QPN=45°．
答：港口N在港口P的東南方向（或南偏東45°）；

（2）由（1）可知Rt△PQM為等腰直角三角形，
∴NQ=PQ=10（海里），
在Rt△PQM中，
∵M(jìn)Q=PQ•tan∠QPM=10×tan60°=10

3

（海里），
∴MN=MQ-NQ=（10

3

-10）海里．
答：M、N兩港口的距離為（10

3

-10）海里．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，根據(jù)題意找出對(duì)應(yīng)的直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義得出結(jié)論是解答此題的關(guān)鍵．