Question

如圖，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（3，0）、（0，1），點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線y=-

1

2

x+b交折線OAB于點E．
（1）記△ODE的面積為S，求S與b的函數關系式；
（2）當點E在線段OA上時，若矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為四邊形O₁A₁B₁C₁，DE=

5

，試探究四邊形O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）要表示出△ODE的面積，要分兩種情況討論，①如果點E在OA邊上，只需求出這個三角形的底邊OE長（E點橫坐標）和高（D點縱坐標），代入三角形面積公式即可；②如果點E在AB邊上，這時△ODE的面積可用長方形OABC的面積減去△OCD、△OAE、△BDE的面積；
（2）重疊部分是一個平行四邊形，由于這個平行四邊形上下邊上的高不變，因此決定重疊部分面積是否變化的因素就是看這個平行四邊形落在OA邊上的線段長度是否變化．

解答：解：（1）∵四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（3，0），（0，1），
∴B（3，1），
若直線經過點A（3，0）時，則b=

3

2

；
若直線經過點B（3，1）時，則b=

5

2

；
若直線經過點C（0，1）時，則b=1．
①如圖1，若直線與折線OAB的交點在OA上時，即1＜b≤

3

2

，
此時E（2b，0）
∴S=

1

2

OE•CO=

1

2

×2b×1=b；
②如圖2，若直線與折線OAB的交點在BA上時，即

3

2

＜b＜

5

2

，
此時E（3，b-

3

2

），D（2b-2，1），
∴S=S_矩-（S_△OCD+S_△OAE+S_△DBE）
=3-[

1

2

（2b-2）×1+

1

2

×（5-2b）•（

5

2

-b）+

1

2

×3（b-

3

2

）]
=

5

2

b-b²，
綜上所述，S=

b(1＜b≤ 3 2 ) 5 2 b-b2( 3 2 ＜b＜ 5 2 )

；

（2）如圖3，設O₁A₁與CB相交于點M，OA與C₁B₁相交于點N，則矩形O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積．
由題意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四邊形DNEM為平行四邊形
根據軸對稱知，∠MED=∠NED
又∵∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四邊形DNEM為菱形．
過點D作DH⊥OA，垂足為H，設菱形DNEM的邊長為a，
由題意知，D（2b-2，1），E（2b，0），
∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，
∴HN=HE-NE=2-a，
則在Rt△DHN中，由勾股定理知：a²=（2-a）²+1²，
∴a=

5

4

，
∴S_{四邊形DNEM}=NE•DH=

5

4

．
∴矩形OA₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積不發(fā)生變化，面積始終為

5

4

．

點評：本題是一個動態(tài)圖形中的面積是否變化的問題，看一個圖形的面積是否變化，關鍵是看決定這個面積的幾個量是否變化，本題題型新穎，是個不可多得的好題，有利于培養(yǎng)學生的思維能力，但難度較大，具有明顯的區(qū)分度．