Question

1．把兩個三角形按如圖1放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠CAB=45°，∠CDE=30°，且AB=6，DC=7，把△DCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)15°得△D₁CE₁，如圖2，這時AB與CD₁相交于點O，與D₁E₁相交于點F．

（1）求∠ACD₁的度數(shù)；
（2）求線段AD₁的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠BCE₁=15°，進而求出∠D₁CB的度數(shù)，進而得出答案；
（2）根據(jù)已知得出OD₁的長，進而利用勾股定理得出答案．

解答 解：（1）∵把△DCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)15°得△D₁CE₁，
∴∠BCE₁=15°，
∴∠D₁CB=60°-15°=45°，
∴∠AC D₁=45°；

（2）∵∠AC D₁=∠BC D₁=45°
且AC=CB∴AO=BO=$\frac{1}{2}$AB=3，C D₁⊥AB
∴CO=$\frac{1}{2}$AB=3∴O D₁=7-3=4
在Rt_△AO D₁中有AO²+O D₁²=A D₁²
∴A D₁=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．

點評 此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理等知識，根據(jù)已知得出O D₁的長是解題關鍵．